Линейность преобразований Лоренца

Материал из Synset

Преобразования Лоренца <<	Оглавление	>> Преобразования Лоренца

Наша задача состоит в установлении функциональной зависимости координат и времени некоторого события измеренного наблюдателями в двух инерциальных системах отсчёта:

$x'=f(x,t),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=g(x,t).$

Дифференциалы величин записываются стандартным образом:

$dx'= f_x\, dx + f_t\, dt,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dt'=g_x\, dx+ g_t\, dt,$

где $\textstyle f_x$ — это частная производная функции $\textstyle f=f(x,t)$ по $\textstyle x$ , и т.д. Рассмотрим некоторое тело, равномерно двигающееся вдоль оси $\textstyle x$ . Его скорость, измеренная наблюдателями в системе $\textstyle S$ будем считать равной $\textstyle u$ , а в системе $\textstyle S'$ , соответственно $\textstyle u'$ . Эти два значения между собой связаны:

$u' =\frac{dx'}{dt'}=\frac{f_x\, dx + f_t\, dt}{g_x\, dx+ g_t\, dt} = \frac{f_x\, u + f_t}{g_x\, u + g_t}.$

Мы считаем, что скорость $\textstyle u=dx/dt$ является произвольной константной. Эта же скорость измеренная в $\textstyle S'$ , в силу второй аксиомы, не должна зависеть от того, в какой точке системы $\textstyle S$ находится тело. Это означает, что правая часть выражения для $\textstyle u'$ не зависит от $\textstyle x$ и $\textstyle t$ . Поэтому возьмём производную по $\textstyle x$ и приравняем её нулю:

$\frac{f_{xx}\,u + f_{tx}}{g_x\, u + g_t}-\frac{(f_{x}\,u + f_{t})(g_{xx}\, u + g_{tx})}{(g_x\, u + g_t)^2}=0.$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$u^2\cdot(f_{xx}g_x-g_{xx}f_x)+u\cdot(f_{xx}g_t+f_{tx}g_x-g_{tx}f_x-g_{xx}f_t) + (f_{tx}g_t-g_{tx}f_t) =0.$

Функции преобразования $\textstyle f(x,t)$ , $\textstyle g(x,t)$ зависят от относительной скорости наблюдателей $\textstyle v$ , но, естественно, не зависят от скорости $\textstyle u$ некоторого тела летящего в пространстве. Поэтому, в силу произвольности $\textstyle u$ , уравнение будет выполняться, если равны нулю коэффициенты при её степенях (можно положить $\textstyle u=0$ , получив коэффициент при $\textstyle u^0$ равным нулю; затем взять производную по $\textstyle u$ , и снова, положив $\textstyle u=0$ , получить нулевым коэффициент при $\textstyle u^1$ , и т.д.):

$\begin{array}{ll} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{xx}\,g_x=g_{xx}\,f_x & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(X_1)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{xx}\,g_t+f_{tx}\,g_x=g_{tx}\,f_x+g_{xx}\,f_t & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(X_2)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{tx}\,g_t=g_{tx}\,f_t. & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(X_3) \end{array}$

Это система дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных.

Совершенно аналогично, беря производную $\textstyle u'$ по времени $\textstyle t$ , получаем:

$\frac{f_{xt}\,u + f_{tt}}{g_x\, u + g_t}-\frac{(f_{x}\,u + f_{t})(g_{xt}\, u + g_{tt})}{(g_x\, u + g_t)^2}=0.$

Снова приводя к общему знаменателю, и приравнивая коэффциенты при степенях произвольной скорости $\textstyle u$ , получаем:

$\begin{array}{ll} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{xt}\,g_x=g_{xt}\,f_x & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(T_1)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{xt}\,g_t+f_{tt}\,g_x=g_{tt}\,f_x+g_{xt}\,f_t & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(T_2)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{tt}\,g_t=g_{tt}\,f_t. & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(T_3)\\ \end{array}$

Вычитая из уравнения $\textstyle (X_2)$ уравнение $\textstyle (T_1)$ , а из $\textstyle (T_2)$ — $\textstyle (X_3)$ , имеем:

$\begin{array}{ll} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{xx}\,g_t=g_{xx}\,f_t & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(F_1)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{tt}\,g_x=g_{tt}\,f_x. & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(F_2)\\ \end{array}$

Умножим теперь $\textstyle (X_1)$ на $\textstyle f_t$ , а $\textstyle (F_1)$ на $\textstyle f_x$ , и вычтем их:

$(g_x f_t- g_t f_x)\cdot f_{xx} = 0.$

Выражение в круглых скобках является якобианом преобразования которой должен быть отличным от нуля. Поэтому $\textstyle f_{xx}=0$ . Аналогично, умножая $\textstyle (T_3)$ на $\textstyle f_x$ , а $\textstyle (F_2)$ на $\textstyle f_t$ , приходим к равенству нулю второй производной по времени от $\textstyle f$ :

$(g_x f_t- g_t f_x) \cdot f_{tt} = 0.$

Учитывая $\textstyle f_{xx}=f_{tt}=0$ , не сложно найти $\textstyle f_{xt}=g_{xt}=0$ . Равенство нулю вторых производных означает, что функции преобразования должны быть линейными.

Преобразования Лоренца <<	Оглавление	>> Преобразования Лоренца

Линейность преобразований Лоренца

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты