Лемма Ито

Материал из Synset

Почему Ито <<	Оглавление	>> Точные решения уравнения Ито

$\textstyle \bullet$ Пусть процесс $\textstyle x(t)$ подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию $\textstyle F(x,t)$ . Если вместо $\textstyle x$ в неё подставить $\textstyle x(t)$ , то $\textstyle F(t)=F\bigl(x(t),t\bigr)$ станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:

$dF = A(x,t)\;dt + B(x,t)\;\delta W$

(2.13)

с $\textstyle x=G(F,t)$ , где $\textstyle G$ — обратная к $\textstyle F$ функция. Для этого необходимо найти функции сноса $\textstyle A$ и волатильности $\textstyle B$ , а также убедиться, что моменты более высоких порядков равны нулю.

Разложим в ряд Тейлора $\textstyle F(x,t)=F(x_0+\Delta x,t_0+\Delta t)$ в окрестности начального фиксированного значения $\textstyle x_0$ по небольшим $\textstyle \Delta x$ и $\textstyle \Delta t$ :

$F(x,t) = F(x_0,t_0) + \frac{\partial F}{\partial x_0}\; \Delta x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2}\; (\Delta x)^2 +...+\frac{\partial F}{\partial t_0}\; \Delta t + ...,$

где все производные справа вычислены в точке $\textstyle x_0, t_0$ . Для ряда оставлен член второго порядка малости по $\textstyle \Delta x$ . При помощи (2.7) мы можем записать $\textstyle (\Delta x)^2$ в следующем виде:

$(\Delta x)^2 = \bigl( a_0\;\Delta t + b_0\; \varepsilon \sqrt{\Delta t}+ ...\bigr)^2 = b_0^2 \;\varepsilon^2 \;\Delta t +...,$

где оставлено ведущее приближение по $\textstyle \Delta t$ . Таким образом, если в начальный момент времени $\textstyle t_0$ функция равна детерминированному числу $\textstyle F_0=F(x_0, t_0)$ , то через малый промежуток времени, в зависимости от значения $\textstyle \varepsilon$ , это будет случайная величина вида ( $\textstyle \lessdot$ C):

$F=F_0 + \frac{\partial F}{\partial x_0} \cdot (a_0 \Delta t + b_0 \;\varepsilon \sqrt{\Delta t}) + \frac{b^2_0}{2}\;\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} \;\varepsilon^2 \;\Delta t + \frac{\partial F}{\partial t_0} \;\Delta t+...$

(2.14)

По определению (2.6) коэффициент сноса в пределе $\textstyle \Delta t\to 0$ равен:

$A(x_0,t_0) \;=\; \frac{\left\langle F-F_0\right\rangle }{\Delta t} \;=\; a_0 \cdot \frac{\partial F}{\partial x_0} + \frac{b^2_0}{2}\cdot \frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} + \frac{\partial F}{\partial t_0},$

где подставлено разложение (2.14) для $\textstyle F$ и учтено, что $\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0$ , $\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1$ . Аналогично, для коэффициента диффузии:

$B^2(x_0,t_0) \;=\; \frac{\left\langle (F-F_0)^2\right\rangle }{\Delta t} \;=\; b^2_0 \cdot \left(\frac{\partial F}{\partial x_0}\right)^2.$

Для моментов более высоких порядков в пределе $\textstyle \Delta t\to 0$ получается ноль. Таким образом, это действительно диффузный процесс.

Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при $\textstyle \Delta t\to 0$ стремятся к нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (2.13). Поэтому необходима полная проверка "диффузности", проведенная выше.

Считая уравнение (2.14) первым вычислением в бесконечной итерационной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу $\textstyle \S$ . Сумма слагаемых вида $\textstyle \varepsilon^2 \Delta t$ приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие $\textstyle \varepsilon^2$ . Поэтому можно положить $\textstyle \varepsilon^2\to 1$ .

Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции $\textstyle F(x,t)$ в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной $\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}$ :

$\;dF \;= \left( \frac{\partial F}{\partial t} +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}\;\delta W.$

(2.15)

Это соотношение называется "леммой Ито". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов ( $\textstyle \lessdot$ C).

Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции $\textstyle F(x,t)$ , в которую подставили решение $\textstyle x=x(t)$ уравнения $\textstyle dx=a(x,t)dt$ , имеет вид:

$dF \;=\; \frac{\partial F}{\partial t}\,dt + \frac{\partial F}{\partial x}\, dx \;=\; \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\, \frac{\partial F}{\partial x}\right)\, dt.$

(2.16)

В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии $\textstyle b^2(x,t)$ и вторая производная по $\textstyle x$ . Происходит это, как мы видели, благодаря корню $\textstyle \sqrt{dt}$ . Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.

Для винеровского уравнения $\textstyle dx=\mu\, dt+\sigma\delta W$ с постоянным сносом $\textstyle \mu$ и волатильностью $\textstyle \sigma$ дифференциал квадрата траектории $\textstyle y=x^2$ , в соответствии с (2.15), удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:

$d(x^2) = (2\mu x + \sigma^2)\,dt + 2\sigma\,x\,\delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;dy = (2\mu \sqrt{y}+\sigma^2)\,dt + 2\sigma\sqrt{y}\,\delta W.$

Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.

Почему Ито <<	Оглавление	>> Точные решения уравнения Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Лемма Ито

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты