Квазидетерминированное приближение

Материал из Synset

Степенные ряды для средних <<	Оглавление	>> Марковские плотности вероятности

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим одномерное уравнение Ито:

$dx = a(x, t) dt + \sigma \,b(x,t)\, \delta W$

в котором из функции $\textstyle b(x,t)$ явным образом выделен параметр волатильности процесса $\textstyle \sigma$ . Его мы будем считать малым. Пусть функция $\textstyle c(t)$ является решением детерминированного уравнения:

$\dot{c} = a(c, t).$

(3.18)

Введём новый процесс "отклонения" от детерминированного решения:

$z = \frac{x-c(t)}{\sigma}.$

В силу Леммы Ито он удовлетворяет уравнению:

$dz = \frac{1}{\sigma}\left[a(c+\sigma z, \,t)-a(c, \,t)\right]\, dt + b(c+\sigma z,\,t)\, \delta W,$

где вместо $\textstyle \dot{c}$ мы подставили правую часть уравнения (3.18).

Запишем уравнение для средних (3.3), выбрав $\textstyle F=z^n$ :

$\dot{\left\langle z^n\right\rangle } = n\, \left\langle z^{n-1}\,\left[a(c+\sigma z, \,t)-a(c, \,t)\right]\right\rangle +\frac{n(n-1)}{2}\, \left\langle z^{n-2}b^2(c+\sigma z,\,t)\right\rangle .$

Разложим в ряд Тейлора по параметру $\textstyle \sigma$ функции $\textstyle a$ и $\textstyle b^2$ :

$a(c+\sigma z, \,t) = \sum^{\infty}_{k=0} A_k(t) \, (\sigma z)^k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;b^2(c+\sigma z, \,t) = \sum^{\infty}_{k=0} D_k(t) \, (\sigma z)^k.$

Детерминированное решение $\textstyle c(t)$ нам известно и определяет функции времени $\textstyle A_k=A_k(t)$ , $\textstyle D_k=D_k(t)$ . Так как $\textstyle A_0=a(c(t),\, t)$ , то в квадратных скобках уравнения для средних коэффициент $\textstyle A_0$ сокращается, и мы имеем:

$\dot{\left\langle z^n\right\rangle } = \sum^\infty_{k=0}\left[ n A_{k+1} \left\langle z^{n+k}\right\rangle +\frac{n(n-1)}{2}\, D_k \, \left\langle z^{k+n-2}\right\rangle \right] \,\sigma^k.$

(3.19)

Разложим в ряд по степеням $\textstyle \sigma$ средние значения:

$\left\langle z^n\right\rangle = \sum^\infty_{i=0} z^n_{i}(t) \,\sigma^{i}$

(3.20)

В коэффициентах $\textstyle z^n_i$ , $\textstyle n$ — это верхний индекс, а не степень! Заметим, что $\textstyle \left\langle 1\right\rangle =1$ , откуда $\textstyle z^0_i=0$ при $\textstyle i>0$ и $\textstyle z^0_0=1$ .

Подставим разложение (3.20) в уравнение (3.19). В результате:

$\sum^\infty_{i=0} \dot{z}^n_{i}(t) \sigma^{i} = \sum^\infty_{k, i=0} \left[ n\, A_{k+1}\, z^{n+k}_i +\frac{n(n-1)}{2}\, D_k\, z^{k+n-2}_i \right]\,\sigma^{k+i}.$

В двойной сумме в правой части сделаем замену индексов $\textstyle i=i'-k'$ , $\textstyle k=k'$ . Так как $\textstyle i>0$ , то $\textstyle k'<i'$ . Приравнивая члены при одинаковых степенях $\textstyle \sigma$ и опуская штрихи у индексов, получаем систему уравнений:

$\dot{z}^{n}_{i}(t) = \sum^i_{k=0} \left\{ n\, A_{k+1}\, z^{n+k}_{i-k} +\frac{n(n-1)}{2}\, D_k \, z^{k+n-2}_{i-k} \right\}.$

(3.21)

Выпишем несколько её первых уравнений:

$\begin{array}{l} \dot{z}^1_{0}(t) = \;A_{1}\, z^1_{0}\\ \dot{z}^2_{0}(t) = 2A_{1}\, z^2_{0} + \;D_0\\ \dot{z}^3_{0}(t) = 3A_{1}\, z^3_{0} + 3\,D_0\, z^1_0\\ \dot{z}^4_{0}(t) = 4A_{1}\, z^4_{0} + 6\,D_0\, z^2_0\\ ...\\ \dot{z}^1_{1}(t) = \;A_{1}\, z^1_{1} + \;A_{2} \,z^2_{0}\\ \dot{z}^2_{1}(t) = 2A_{1}\, z^2_{1} + 2A_{2} \,z^3_{0} + \;D_1 z^{1}_0\\ \dot{z}^3_{1}(t) = 3A_{1}\, z^3_{1} + 3A_{2} \,z^4_{0} + 3D_0\,z^1_1 + 3D_1 z^{2}_0\\ ...\\ \dot{z}^1_{2}(t) = \;A_{1}\, z^1_{2} + \;A_{2} \,z^2_{1} \;+ \;A_{3} \,z^3_{0}\\ \dot{z}^2_{2}(t) = 2A_{1}\, z^2_{2} + 2A_{2} \,z^3_{1} + 2A_{3} \,z^4_{0} + \;D_1 z^{1}_1 + \;D_2 z^{2}_0\\ ...\\ \dot{z}^1_{3}(t) = \;A_{1}\, z^1_{3} + \;A_{2} \,z^2_{2} \;+ \;A_{3} \,z^3_{1} + \;A_{4} \,z^4_{0},...\\ \end{array}$

Так как начальные условия учтены в детерминированном решении $\textstyle x_0=c(t_0)$ , то для процесса $\textstyle z(t)$ они имеют вид $\textstyle z(t_0)=0$ . Соответственно равны нулю и все средние $\textstyle \left\langle z^n\right\rangle$ при $\textstyle t=t_0$ . Систему уравнений (3.21) можно решать как аналитически, так и численно, используя конечные приращения для производных по времени.

Если в задаче при $\textstyle t\to\infty$ возможен стационарный режим, в котором $\textstyle \dot{z}^n_i=0$ , то, приравняв левые части уравнений к нулю, получим систему с постоянными коэффициентами $\textstyle A_k=A_k(\infty)$ , $\textstyle D_k=D_k(\infty)$ , которая легко решается. В частности:

$\begin{array}{lcl} \left\langle z\right\rangle &=& \frac{A_2D_0}{2A^2_1}\,\sigma -\;...\\ \left\langle z^2\right\rangle &=& -\frac{D_0}{2A_1} \;\;+ \;\frac{D_0}{4A_1^4}\,(D_0(5A^2_2-3A_1A_3) - 3D_1A_1A_2+D_2A^2_1)\,\sigma^2+... \end{array}$

Особенно удобен этот способ вычисления средних в многомерном случае, когда стационарное уравнение Фоккера-Планка решить сложно.

$\textstyle \bullet$ В качестве примера рассмотрим сначала точно решаемую задачу логарифмического блуждания:

$dx = \mu x \, dt + \sigma \,x\, \delta W.$

Как известно (стр. \pageref{log_winer_sol}), средние значения имеют вид:

$\left\langle x\right\rangle =x_0\,e^{\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x^2\right\rangle =x^2_0 \cdot e^{2\mu t + \sigma^2 t}=x^2_0 e^{2\mu t}\, \left[1+ \sigma^2 t + \frac{\sigma^4 t^2}{2}+...\right] .$

Так как уравнение линейно по $\textstyle x$ , детерминированное решение $\textstyle c(t)$ совпадает с выражением для среднего. Ненулевые значения коэффициентов разложения сноса и дисперсии имеют вид:

$A_1=\mu,\;\;\;\;\;\;\;\;D_0=x^2_0\, e^{2\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_1=2 x_0 e^{\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_2=1.$

В результате ряды обрываются, и уравнения принимают вид:

$\dot{z}^n_i = n\,\mu \,z^n_i + \frac{n(n-1)}{2} \,\Bigl[x^2_0\, e^{2\mu t}\, z^{n-2}_i + 2 x_0 e^{\mu t}\, z^{n-1}_{i-1}+ z^n_{i-2}\Bigr].$

Среднее значение ( $\textstyle n=1$ ) для любой $\textstyle i$ -й поправки удовлетворяет уравнениям $\textstyle \dot{z}^1_i = \mu \,z^1_i$ . Так как $\textstyle z(0)=0$ , то все $\textstyle z^1_i=0$ , и, следовательно, $\textstyle \left\langle x\right\rangle =c(t)=x_0 \,e^{\mu t}$ . Для среднего квадрата:

$\begin{array}{lcl} &\dot{z}^2_0 = 2\,\mu \,z^2_0 + x^2_0\, e^{2\mu t} &=> z^2_0=x^2_0 e^{2\mu t}\, t\\ &\dot{z}^2_1 = 2\,\mu \,z^2_1 &=> z^2_1=0\\ &\dot{z}^2_2 = 2\,\mu \,z^2_2 + z^2_0 &=> z^2_0=x^2_0 e^{2\mu t}\, t^2/2, ... \end{array}$

В итоге получаем разложение в ряд по $\textstyle \sigma$ точного решения.

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь стохастические поправки к детерминированному решению для более сложного логистического уравнения:

$dx = x\cdot(1 - x)\, dt + \sigma \, x\, \delta W.$

Его детерминированное решение имеет вид (см. стр. \pageref{df_eq_logistic}):

$c(t)= \bigl[1 - \lambda \cdot e^{-t}\bigr]^{-1},$

где $\textstyle \lambda=1-x_0^{-1}$ . Ненулевые коэффициенты разложения сноса и дисперсии равны:

$A_1=1 - 2\,c(t),\;\;\;\;\;\;\;A_2=-1,\;\;\;\;\;D_0=c^2(t),\;\;\;\;D_1=2\,c(t),\;\;\;\;\;D_2=1.$

В асимптотическом пределе $\textstyle t\to\infty$ детерминированное решение $\textstyle c(t)$ стремится к единице, и полученные выше выражения для $\textstyle \left\langle z\right\rangle$ , $\textstyle \left\langle z^2\right\rangle$ воспроизводят точные значения для среднего и волатильности (3.13).

В произвольный момент времени первое уравнение системы для средних (3.21) имеет вид:

$\dot{z}^1_0(t) = \bigl[1 - 2c(t)\bigr]\,z^1_0(t)\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;z^1_0(t)= \frac{z_0 \,e^{-t}}{(1-\lambda e^{-t})^2}.$

Так как $\textstyle z(0)=0$ , то, следовательно, константа интегрирования $\textstyle z_0$ равна нулю, и, соответственно, поправка к $\textstyle z$ , пропорциональная $\textstyle \sigma$ , также равна нулю $\textstyle z^1_0(t)=0$ . Аналогично равны нулю $\textstyle z^3_1(t)=z^2_1(t)=z^1_2(t)=0$ . Ведущий член для $\textstyle \left\langle z^2\right\rangle$ подчиняется уравнению

$\dot{z}^2_0(t) = 2\bigl[1- 2c(t)\bigr]\,z^2_0(t) + c^2(t),$

решение которого с начальным условием $\textstyle z^2_0(0)=0$ имеет вид:

$z^2_0(t) = \frac{1-4\lambda e^{-t}+(2\lambda^2 \,t + 4\lambda -1) e^{-2t}}{2(1-\lambda\, e^{-t})^4}.$

Четвёртая степень $\textstyle \left\langle z^4\right\rangle$ в нулевом приближении выражается через $\textstyle z^2_0$ :

$z^4_0(t) = 3\, \left(z^2_0(t)\right)^2.$

Наконец, первая поправка к среднему значению равняется:

$z^1_1(t) = - \frac{1-2(1+\lambda(t - 1)) e^{-t}+(1- 2\lambda) e^{-2t}}{2(1-\lambda\, e^{-t})^3}.$

Дальше члены разложения становятся достаточно громоздкими. Приведём их вид, когда $\textstyle \lambda = 0$ , т.е. начальное значение стохастического процесса стартует с асимптотически равновесного уровня $\textstyle x=1$ . В этом случае среднее значение для $\textstyle x$ с точностью до $\textstyle \sigma^4$ равно:

$\left\langle x\right\rangle = 1 - \left(1-e^{-t}\right)^2\, \frac{\sigma^2}{2} + e^{-t} \left(2-3e^{-t}\right)\left(2t - 3 +4e^{-t}- e^{-2t}\right) \,\frac{\sigma^4}{4}.$

Аналогично для среднего квадрата:

$\left\langle x^2\right\rangle = 1 - \left(1-4 e^{-t}+3 e^{-2t}\right)\, \frac{\sigma^2}{2}+...$

Мы видим, что сложность аналитических выражений достаточно быстро увеличивается. Для практических целей иногда имеет смысл использовать численное решение системы дифференциальных уравнений. В этом случае при небольших $\textstyle \sigma$ мы будем получать средние значения быстрее, чем при использовании Монте-Карло — моделирования.

Степенные ряды для средних <<	Оглавление	>> Марковские плотности вероятности

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Квазидетерминированное приближение

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты