Квадратичный функционал

Материал из Synset

Интегралы Ито <<	Оглавление	>> Интегрирование стохастических уравнений

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим процесс, равный интегралу по времени от квадрата винеровской траектории:

$U_t = \int\limits^t_0 W^2_\tau \, d\tau = \bigl[\varepsilon_1^2 + (\varepsilon_1+\varepsilon_2)^2+...+(\varepsilon_1+...+\varepsilon_n)^2\bigr]\,\frac{t^2}{n^2},$

где мы сразу положили $\textstyle n\,\Delta t = t$ . Введём гауссовы случайные величины:

$\eta_k = \varepsilon_1+...+\varepsilon_k,\;\;\;\;\;\;\left\langle \eta_i\,\eta_j\right\rangle = D_{ij} = \min(i,j).$

Их матрица дисперсий $\textstyle \mathbf{D}$ имеет единичный определитель $\textstyle \det\mathbf{D}=1$ . Действительно, вычитая из всех строк первую строку, затем из всех лежащих ниже второй — вторую строку, и т.д., мы приходим к треугольной матрице с единичными элементами. Например, для $\textstyle n=4$ имеем:

$\det\mathbf{D} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 3\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix} = ... = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}.$

Матрица $\textstyle \mathbf{D}$ определяет плотность вероятности величин $\textstyle \eta_k$ ( $\textstyle \S$ , стр. \pageref{n_dim_gauss_distribution_sec}):

$P(\eta_1,...,\eta_n) =(2\pi)^{-n/2}\, e^{-\frac{1}{2}\,\eta\cdot \mathbf{D}^{-1}\cdot \mathbf{\eta}}.$

Для скалярной случайной величины $\textstyle \xi$ :

$\xi = \frac{U_t}{t^2} = \frac{\eta_1^2+...+\eta^2_n}{n^2},$

найдём производящую функцию:

$\left\langle e^{p\,\xi}\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} e^{\frac{p}{n^2}\,(\eta_1^2+...+\eta^2_n)}P(\eta_1,...,\eta_n)\, d^n\eta = \int\limits^\infty_{-\infty} \frac{e^{-\frac{1}{2}\,\eta\cdot \mathbf{A}\cdot \eta}}{(2\pi)^{n/2}}\, d^n\eta = \frac{1}{\sqrt{\det \mathbf{A}}},$

где матрица $\textstyle \mathbf{A}$ размерности $\textstyle n\,$ x $\textstyle \,n$ равна:

$\mathbf{A} = -\frac{2p}{n^2}\,\mathbf{1} + \mathbf{D}^{-1}.$

(5.16)

Умножая обе части (5.16) на $\textstyle \mathbf{D}$ и учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а $\textstyle \det \mathbf{D}=1$ , получаем:

$\left\langle e^{p\,\xi}\right\rangle = \left[\det\left(\mathbf{1}- \frac{2p}{n^2}\,\mathbf{D}\right)\right]^{-1/2}.$

Нам необходимо найти предел этого выражения при $\textstyle n\to\infty$ .

$\textstyle \bullet$ Для матрицы $\textstyle \mathbf{D}$ размерности $\textstyle n\,$ x $\textstyle \,n$ с элементами $\textstyle D_{ij}=\min(i,j)$ докажем следующее соотношение:

$\lim_{n\to\infty} \det\left(\mathbf{1}-\frac{x^2}{n^2}\,\mathbf{D}\right) = \cos(x).$

Несложно проверить, что обратная к $\textstyle \mathbf{D}$ матрица является ленточной:

$\mathbf{D}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0& 0\\ -1 & 2 & -1 & 0& 0\\ 0 & -1 & 2 & -1& 0\\ 0 & 0 & -1 & 2& -1\\ 0 & 0 & 0 & -1& 1\\ \end{pmatrix}.$

Поэтому $\textstyle A_n = \det\left(\mathbf{1}-\lambda\,\mathbf{D}\right) = \det\left(\mathbf{D}^{-1}-\lambda\right)$ , где $\textstyle \lambda=x^2/n^2$ , или

$A_n = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 & 0 & 0& 0\\ -1 & 2-\lambda & -1 & 0& 0\\ 0 & -1 & 2-\lambda & -1& 0\\ 0 & 0 & -1 & 2-\lambda& -1\\ 0 & 0 & 0 & -1& 1-\lambda\\ \end{pmatrix}.$

Вычисление определителя по первой колонке даёт следующее рекуррентное уравнение:

$A_n = (2-\lambda)\,A_{n-1}-A_{n-2}.$

Решим его сначала в более общем случае: $\textstyle A_n = (\alpha+\beta)\,A_{n-1}-\alpha\beta A_{n-2}$ . Перенося влево $\textstyle \alpha A_{n-1}$ и $\textstyle \beta A_{n-1}$ , получим две геометрические прогрессии:

$\left\{ \begin{array}{l} A_n-\alpha A_{n-1} = \beta \cdot (A_{n-1}-\alpha A_{n-2}) = \beta^{n-2}\cdot (A_2-\alpha A_1)\\ A_n-\beta A_{n-1} = \alpha\cdot (A_{n-1}-\beta A_{n-2}) = \alpha^{n-2}\cdot (A_2-\beta A_1).\\ \end{array}\right.$

Если $\textstyle \alpha\neq\beta$ , то можно исключить $\textstyle A_{n-1}$ и найти $\textstyle A_n$ :

$A_n=\frac{A_2-\beta A_1}{\alpha(\alpha-\beta)}\,\alpha^n-\frac{A_2-\alpha A_1}{\beta(\alpha-\beta)}\,\beta^n.$

В нашем случае $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ являются корнями уравнения $\textstyle x^2-(2-\lambda)\,x+1=0$ , для которых можно сразу взять ведущий порядок малости по $\textstyle 1/n$ :

$\alpha \approx 1 + \imath\,\frac{x}{n},\;\;\;\;\; \beta \approx 1 - \imath\,\frac{x}{n},\;\;\;\;\;\;A_1\approx A_2\approx 1.$

Воспользовавшись предельным определением экспоненты, получаем:

$A_n \to \frac{1}{2}\,\left(1+\frac{\imath x}{n}\right)^n + \frac{1}{2}\,\left(1-\frac{\imath x}{n}\right)^n\;\to\; \frac{e^{\imath\,x}+e^{-\imath\,x}}{2} = \cos(x),$

что и требовалось доказать.

$\textstyle \bullet$ Таким образом, интегралу от квадрата винеровской траектории

$U_t = \int\limits^t_0 W^2_\tau \, d\tau$

соответствует производящая функция Камерона-Мартина:

$\left\langle e^{p\,U_t}\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{\cos(t\sqrt{2p})}} = 1 + p\,\frac{1}{2}\,t^2 + \frac{p^2}{2!}\,\frac{7}{12}\,t^4 + \frac{p^3}{3!}\,\frac{139}{120}\, t^6+ \frac{p^4}{4!}\,\frac{5473}{1680}\, t^8+...,$

и, следовательно, следующие средние значения:

$\left\langle U_t\right\rangle = \frac{t^2}{2},\;\;\;\;\left\langle U^2_t\right\rangle = \frac{7}{12}\,t^4,\;\;\;\; \left\langle U^3_t\right\rangle = \frac{139}{120}\, t^6,\;\;\;\;\left\langle U^4_t\right\rangle = \frac{5473}{1680}\, t^8,\;\;\;\;...$

Процесс $\textstyle U_t$ , как и $\textstyle S_t$ (стр. \pageref{sec_sqr_W}), в момент времени $\textstyle t$ выражается через скалярную случайную величину $\textstyle \xi$ , однако, она имеет не гауссово распределение:

$U_t = \xi\,t^2,\;\;\;\;\;\;\;\left\langle e^{p\,\xi}\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{\cos(\sqrt{2p})}},$

тогда как $\textstyle S_t=\varepsilon \,t^{3/2}/\sqrt{3}$ , где $\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)$ .

Зная производящие функции для $\textstyle S_t$ и $\textstyle U_t$ , можно вычислить некоторые стохастические интегралы по $\textstyle \delta W$ . При помощи интегральной версии леммы Ито (5.15), в качестве упражнения стоит проверить, что:

$\int\limits^t_0 W^2_\tau \, \delta W_\tau = \frac{W^3_t}{3} - S_t, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int\limits^t_0 W^3_\tau \, \delta W_\tau = \frac{W^4_t}{4} - \frac{3}{2}\,U_t.$

Аналогично, при помощи общей интегральной леммы Ито с функцией, зависящей от времени, имеем:

$\int\limits^t_0 \tau\, \delta W_\tau = t\, W_t - S_t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \int\limits^t_0 \tau\,W_\tau\, \delta W_\tau = \frac{t}{2}\, W^2_t -\frac{t^2}{4} - \frac{1}{2} \,U_t.$

Таким образом, изучив статистические свойства трех базовых процессов $\textstyle W_t$ , $\textstyle S_t$ и $\textstyle U_t$ , мы можем вычислять различные средние для достаточно широкого класса случайных процессов, выражаемых через стохастические интегралы.

Процесс $\textstyle U_t$ имеет негауссово распределение, однако производящая функция для него была вычислена при помощи $\textstyle n$ -мерного интеграла Гаусса. Для интегралов по времени от $\textstyle W^3_t$ , $\textstyle W^4_t$ ,... получить подобные простые выражения уже не просто.

$\textstyle \bullet$ Найдём совместную производящую функцию для винеровского процесса и двух интегралов от него по времени:

$W_t,\;\;\;\;\;\;S_t=\int\limits^t_0 W_\tau\,d\tau,\;\;\;\;\;\;\;U_t=\int\limits^t_0 W^2_\tau\,d\tau.$

Переходя к $\textstyle n$ скоррелированным гауссовым величинам $\textstyle \eta_k=\varepsilon_1+...+\varepsilon_k$ , имеем:

$\left\langle e^{q\,W_t+k\,S_t+p\,U_t}\right\rangle = (2\pi)^{-n/2} \int\limits^\infty_{-\infty} e^{\mathbf{b}\cdot \eta - \frac{1}{2}\,\eta\cdot \mathbf{A}\cdot \eta}\, d\eta_1...d\eta_n.$

Матрица $\textstyle \mathbf{A}$ и вектор $\textstyle \mathbf{b}$ равны:

$\mathbf{A} = -\frac{2p\,t^2}{n^2}\,\mathbf{1} + \mathbf{D}^{-1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{b}= k\, \frac{t^{3/2}}{n^{3/2}}\,\mathbf{u} + q\,\frac{t^{1/2}}{n^{1/2}}\,\mathbf{z},$

где $\textstyle \mathbf{u}=\left(1, ..., \;1\right)$ — единичный вектор, а $\textstyle \mathbf{z}=\left(0, \; 0, \; ..., \; 0,\;1\right)$ — вектор, у которого отлична от нуля только последняя компонента. Проведя интегрирование, получаем:

$\left\langle e^{q\,W_t+k\,S_t+p\,U_t}\right\rangle = \frac{e^{\frac{1}{2}\,\mathbf{b}\cdot\mathbf{F}\cdot\mathbf{b}}}{\sqrt{\det \mathbf{A}}},$

где $\textstyle \mathbf{F}=\mathbf{A}^{-1}$ — обратная к $\textstyle \mathbf{A}$ матрица. Значение детерминанта нам известно, осталось вычислить показатель экспоненты. Запишем его при помощи векторов $\textstyle \mathbf{u}$ и $\textstyle \mathbf{z}$

$\mathbf{b}\,\mathbf{F}\,\mathbf{b} = k^2t^3 \,\frac{(\mathbf{u}\,\mathbf{F}\,\mathbf{u})}{n^3} +2 kq\,t^2\,\frac{(\mathbf{u}\,\mathbf{F}\,\mathbf{z})}{n^2} +q^2t \,\frac{(\mathbf{z}\,\mathbf{F}\,\mathbf{z})}{n},$

(5.17)

где мы воспользовались тем, что матрица $\textstyle \mathbf{F}$ , как и $\textstyle \mathbf{A}$ , симметрична. Первое выражение в круглых скобках равно сумме всех элементов $\textstyle \mathbf{F}$ , второе — сумме элементов последней колонки, а третье - элементу в нижнем правом углу матрицы.

Так как матрица $\textstyle \mathbf{F}$ является обратной к $\textstyle \mathbf{A}$ , справедливы следующие соотношения:

$(\mathbf{D}^{-1}-(\lambda/n^2)\,\mathbf{1})\cdot \mathbf{F} = \mathbf{F}\cdot(\mathbf{D}^{-1}-(\lambda/n^2)\,\mathbf{1})\cdot \mathbf{F} = \mathbf{1},$

где $\textstyle \lambda = 2p\, t^2$ . Умножая их на $\textstyle \mathbf{D}$ , мы приходим к двум матричным уравнениям размерности $\textstyle n\,$ x $\textstyle \,n$ :

$\mathbf{F} - \frac{\lambda}{n^2} \,\mathbf{D}\cdot\mathbf{F}= \mathbf{D},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{F} - \frac{\lambda}{n^2} \,\mathbf{F}\cdot \mathbf{D}= \mathbf{D}.$

(5.18)

Нас интересует их решение $\textstyle \mathbf{F}$ при больших $\textstyle n$ .

Удобно сразу перейти к пределу $\textstyle n\to\infty$ , заменив дискретные индексы на вещественные переменные $\textstyle x=i/n$ , $\textstyle y=j/n$ , изменяющиеся от нуля до единицы. В этом случае матрицы становятся функциями двух переменных, а суммы превращаются в интегралы:

$\frac{1}{n} \min(i, j) \to D(x,y) = D_{xy} =\min(x,y),\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{n}\sum^n_{k=1} \to \int\limits^1_0 dx.$

Например, вычисление следа матрицы $\textstyle D_{ij}$ в дискретном и непрерывном вариантах выглядит следующим образом:

$\mathrm{Tr}\,\mathbf{D} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{i}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}\to \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{Tr}\,\mathbf{D} = \int\limits^1_0 x dx = \frac{1}{2}.$

Аналогично определяем $\textstyle F(x,y)=F_{xy}=F_{ij}/n$ . В результате матричные уравнения (5.18) превращаются в интегральные:

$F_{xy} - \lambda \int\limits^1_0 D_{xz}\,F_{zy}\,dz = D_{xy},\;\;\;\;\;\;\;\;\;F_{xy} - \lambda \int\limits^1_0 F_{xz}\,D_{zy}\,dz = D_{xy}.$

(5.19)

Пусть для $\textstyle x<y$ элемент $\textstyle F_{xy}$ равен функции $\textstyle F(x,y)$ . В силу симметрии, если $\textstyle x>y$ , то $\textstyle F_{xy}=F(y,x)$ . Разбивая пределы интегрирования на три отрезка из (5.19), при $\textstyle x<y$ получаем следующие уравнения:

$F_{xy}-\lambda \int\limits^x_0 z\,F_{zy}\,dz - \lambda x \int\limits^y_x F_{zy}\,dz -\lambda x \int\limits^{1}_y F_{yz}\,dz = x,$

(5.20)

$F_{xy}-\lambda \int\limits^x_0 z\,F_{zx}\,dz - \lambda \int\limits^y_x z F_{xz}\,dz -\lambda y \int\limits^{1}_y F_{xz}\,dz = x.$

(5.21)

Если взять вторую производную по $\textstyle x$ от первого уравнения и по $\textstyle y$ от второго, получатся два осцилляторных уравнения:

$\frac{\partial^2 F_{xy}}{\partial x^2} + \lambda F_{xy}=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial^2 F_{xy}}{\partial y^2} + \lambda F_{xy}=0,$

решение которых можно записать в виде:

$\begin{array}{lcl} F(x,y)&=&[f_1\,\cos(y\sqrt{\lambda})+f_2\sin(y\sqrt{\lambda})]\,\cos(x\sqrt{\lambda})\\ &+&[f_3\,\cos(y\sqrt{\lambda})+f_4\sin(y\sqrt{\lambda})]\,\sin(x\sqrt{\lambda}), \end{array}$

где $\textstyle f_i$ — некоторые константы, зависящие от $\textstyle \lambda$ .

Для того, чтобы их найти, необходимо подставить решение, например, в первое интегральное уравнение (5.20). Оно обратится в тождество при любых $\textstyle x<y$ , если $\textstyle f_1=f_2=0$ , $\textstyle f_3=1/\sqrt{\lambda}$ , $\textstyle f_4=\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})\cdot f_3$ . Следовательно, выражение для матрицы $\textstyle F_{xy}$ при $\textstyle x \leqslant y$ имеет вид:

$F_{xy} = \frac{\sin(x\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}\, \left[ \cos(y\sqrt{\lambda})+\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})\,\sin(y\sqrt{\lambda})\right].$

Теперь несложно найти множители в показателе экспоненты (5.17):

$\begin{array}{lcl} \frac{'''z'''\,'''F'''\,'''z'''}{n} &=& F_{11} = \frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda} )}{\sqrt{\lambda}},\\ \frac{'''u'''\,'''F'''\,'''z'''}{n^2} &=& \int\limits^1_0 F_{x1}\, dx = \frac{1}{\lambda}\left[\frac{1}{\cos(\sqrt{\lambda})-1}\right],\\ \frac{'''u'''\,'''F'''\,'''u'''}{n^3} &=& 2\int\limits^1_0 \int\limits^y_0F_{xy}\, dx\, dy = \frac{1}{\lambda}\left[\frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}-1\right]. \end{array}$

Поэтому окончательно производящая функция равна:

$\left\langle e^{q\,W_t+k\,S_t+p\,U_t}\right\rangle = \frac{e^{M/2}}{\sqrt{\cos(\sqrt{\lambda})}},$

где $\textstyle \lambda=2p\,t^2$ , и

$M = q^2\,t\cdot\frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}} +\frac{k^2\,t^3}{3}\cdot\frac{3}{\lambda}\left[\frac{\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}-1\right] + kq\,t^2\cdot \frac{2}{\lambda}\left[\frac{1}{\cos(\sqrt{\lambda})}-1 \right].$

Заметим, что, если $\textstyle \lambda=0$ , то

$\left\langle e^{q\,W_t+k\,S_t}\right\rangle = e^{\frac{1}{2}\,(q^2t + \frac{1}{3}\,k^2t^3 + kq t^2)}$

соответствует двум скоррелированным гауссовым случайным величинам.

Приведём значение некоторых средних:

$\left\langle W_t\,S_t\right\rangle = \frac{t^2}{2},\;\;\;\;\;\left\langle W_t\,U_t\right\rangle = \left\langle S_t\,U_t\right\rangle =0,$

$\left\langle W^2_t\,S_t\right\rangle =\left\langle W_t\,S^2_t\right\rangle =\left\langle W_t\,U^2_t\right\rangle =\left\langle S_t\,U^2_t\right\rangle = 0,$

$\left\langle W^2_t\,U_t\right\rangle =\frac{7}{6}\,t^3,\;\;\;\;\;\left\langle S^2_t\,U_t\right\rangle =\frac{13}{30}\,t^5.$

Другие соотношения можно найти в разделах $\textstyle \mathbf{R}_{}$ , $\textstyle \mathbf{R}_{}$ , $\textstyle \mathbf{R}_{}$ "Стохастического справочника" (стр. \pageref{r_base_int_process}).

Интегралы Ито <<	Оглавление	>> Интегрирование стохастических уравнений

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Квадратичный функционал

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты