Интегрирование стохастических уравнений

Материал из Synset

Квадратичный функционал <<	Оглавление	>> Единственность решений

$\textstyle \bullet$ Стохастические интегралы являются традиционным способом записи решения стохастических дифференциальных уравнений. "Проинтегрировав" уравнение

$dx = a(x,t)\,dt + b(x,t)\,\delta W,$

можно записать:

$x(t) = x(t_0) + \int\limits^t_{t_0} a(x(\tau), \tau) \, d\tau + \int\limits^t_{t_0} b(x(\tau), \tau) \, \delta W_\tau.$

(5.22)

Пределы интегрирования выбраны таким образом, чтобы автоматически выполнялось начальное условие $\textstyle x_0=x(t_0)$ . На самом деле (5.22), конечно, не решение, а интегральное уравнение, которое обычно решить сложнее, чем исходное дифференциальное.

При формальном обосновании стохастических уравнений сначала определяется стохастическое интегрирование, затем записывается интегральное уравнение, и только после этого рассматриваются дифференциальные уравнения. Мы в этой книге приняли обратную форму изложения.

$\textstyle \bullet$ Если снос и волатильность не зависят от $\textstyle x$ , то интегральное уравнение оказывается решением нестационарного винеровского блуждания:

$x(t) = x(t_0) + \int\limits^t_{t_0} a(\tau) \, d\tau + \int\limits^t_{t_0} b(\tau) \, \delta W_\tau.$

Как мы знаем из (5.12), этот интеграл выражается через скалярную гауссову величину $\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)$ :

$x(t) = x(t_0) + \int\limits^t_{t_0} a(\tau) \, d\tau + \left[\int\limits^t_{t_0} b^2(\tau) \right]^{1/2}\,\varepsilon,$

и, следовательно, сводится к обычным детерминированным интегралам. Естественно, чтобы вычислить, например, корреляцию с порождающим винеровским блужданием, необходимо учесть, что в данном случае:

$\left\langle x(t)\cdot W_t\right\rangle = \int\limits^t_{t_0} b(\tau) \, d\tau.$

Поэтому $\textstyle \varepsilon$ в решении и в записи винеровского процесса $\textstyle W_t=\varepsilon\,\sqrt{t}$ являются различными скоррелированными случайными числами.

$\textstyle \bullet$ Иногда простыми заменами можно устранить зависимость в уравнении от $\textstyle x$ , тем самым превратив интегральное уравнение в решение задачи. Рассмотрим в качестве примера уравнение Орнштейна-Уленбека:

$dx = -\beta\cdot (x-\alpha)\,dt + \sigma\delta W.$

Сделаем в нём замену переменных $\textstyle y=e^{\beta t}\, (x-\alpha)$ . В силу леммы Ито новый процесс $\textstyle y$ удовлетворяет следующему уравнению:

$dy = \sigma e^{\beta t}\,\delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;y(t)=y(0) + \sigma \int\limits^t_0 e^{\beta \tau} \, \delta W_\tau.$

Отсюда решение исходного уравнения имеет вид:

$x(t) = \alpha + (x_0 - \alpha)\,e^{-\beta t} + \sigma \int\limits^t_0 e^{-\beta \,(t-\tau)} \, \delta W_\tau.$

Обычно это решение в таком виде и остаётся, а вычисление средних проводится по формулам, подобным (5.13). Так как среднее стохастического интеграла по $\textstyle \delta W$ равно нулю, то для среднего значения процесса Орнштейна - Уленбека имеем:

$\left\langle x(t)\right\rangle = \alpha + (x_0 - \alpha)\,e^{-\beta t}.$

Дисперсия процесса $\textstyle \sigma^2_x(t)=\left\langle (x-\bar{x})^2\right\rangle$ равняется:

Для вычисления среднего необходимо воспользоваться (5.13):

$\sigma^2_x(t) = \sigma^2\int\limits^t_0 e^{-2\beta (t-s)} \, ds = \frac{\sigma^2 }{2\beta}\left[1-e^{-2\beta t}\right].$

Удобнее, конечно, при помощи (5.12) сразу записать решение через гауссову переменную $\textstyle \varepsilon$ , а затем вычислять средние.

В следующей главе (стр. \pageref{int_logistic_from_ito_N}) при помощи многомерной версии леммы Ито мы получим интегральное представление решения логистического уравнения и уравнения с линейным по $\textstyle x$ сносом и волатильностью.

Стохастические интегралы — это очень изящная математическая конструкция. Однако до сих пор в этих лекциях мы их не использовали, получая решения уравнений другими методами. ( $\textstyle \lessdot$ C).

Квадратичный функционал <<	Оглавление	>> Единственность решений

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Интегрирование стохастических уравнений

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты