Интегралы Ито

Материал из Synset

Площадь под траекторией Винера <<	Оглавление	>> Квадратичный функционал

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь ещё одну возможность введения случайных интегральных величин. В обычном анализе мы говорим об интеграле Римана-Стилтьеса, когда "под дифференциалом" стоит функция, а не обычная переменная интегрирования:

$\int\limits^t_{t_0} f(t) \, dg(t) = \sum^n_{k=1} f_{k-1}\cdot (g_{k}-g_{k-1}).$

Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса $\textstyle \delta W$ . Для этого рассмотрим $\textstyle n$ бесконечно малых отрезков $\textstyle \Delta t$ (для простоты одинаковой длительности $\textstyle \Delta t=t_k-t_{k-1}$ ), содержащихся в конечном интервале $\textstyle t$ . Предполагается, что $\textstyle n\cdot \Delta t = t$ при $\textstyle n\to\infty$ и $\textstyle \Delta t\to 0$ :

Значения винеровского процесса $\textstyle W_k=W(t_k)$ на границах отрезков заданы суммой (5.1). Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:

$\int\limits^t_0 f(\tau, W(\tau))\;\delta W_\tau = \sum^n_{k=1} f\bigl(t_{k-1}, W_{k-1}\bigr)\cdot \bigl[W_k-W_{k-1}\bigr].$

(5.8)

В подынтегральной функции может находиться любой стохастический процесс, эволюция которого определяется винеровской траекторией $\textstyle W_t$ . Например, процессы Орнштейна-Уленбека или Феллера не выражаются в явной функциональной форме через $\textstyle W_t$ , но полностью ею определяются.

Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции "под дифференциалом" вычисляются на краях отрезков: $\textstyle t_k=k\cdot \Delta t$ , а подынтегральная функция — в его первой точке $\textstyle t_{k-1}$ . Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сначала реализуется случайное число $\textstyle W_{k-1}$ , а затем оно изменяется на величину $\textstyle \delta W_k=W_k-W_{k-1}=\varepsilon_k\sqrt{\Delta t}$ . Вообще говоря, возможны и другие определения стохастического интеграла.

$\textstyle \bullet$ Винеровский процесс имеет нулевой снос $\textstyle a=0$ и единичную волатильность $\textstyle b=1$ . Поэтому в силу леммы Ито (2.15), для его квадрата имеем следующее уравнение:

$d(W_t^2) = dt + 2W_t \delta W_t.$

(5.9)

Чтобы его формально проинтегрировать, мы должны определить:

$2\int\limits^t_0 W_\tau\delta W_\tau \;=\; W^2_t \;-\; t.$

(5.10)

Первое слагаемое в правой части выглядит естественным для обычных правил интегрирования, чего нельзя сказать о втором. Попробуем с ним разобраться. Для этого запишем представление интеграла в виде суммы:

$2\sum^n_{k=1} W_{k-1}\bigl[W_k-W_{k-1}\bigr] = \sum^n_{k=1} \left[W^2_k-W^2_{k-1}-\bigl(W_k-W_{k-1}\bigr)^2\right],$

где выполнено элементарное алгебраическое преобразование, которое проще проверить в обратном направлении. При суммировании $\textstyle W^2_k-W^2_{k-1}$ взаимно сокращаются, за исключением границ интегрирования. Так как на нижней границе $\textstyle W_0=0$ , мы получаем $\textstyle W^2_t$ . Для третьего члена:

$\int\limits^t_0 (\delta W_\tau)^2 = \sum^n_{k=1} \bigl(W_k-W_{k-1}\bigr)^2 = \sum^n_{k=1} \varepsilon_k^2 \cdot \Delta t = u\cdot (n\Delta t) = u\cdot t.$

Вообще говоря, этот интеграл отличается от формулы (5.8), так как "бесконечно малое изменение" $\textstyle \delta W=\varepsilon \sqrt{dt}$ стоит в квадрате. Для обычных детерминированных функций подобная сумма оказалась бы равной нулю. Однако благодаря фактору $\textstyle \sqrt{dt}$ этот стохастический интеграл имеет конечное значение. В разделе $\textstyle \S$ , стр. \pageref{safe_stop}, мы видели, что величина $\textstyle u=(\varepsilon_1^2+...+\varepsilon^2_n)/n$ при $\textstyle n\to \infty$ имеет нулевую волатильность $\textstyle \sigma_u\to 0$ и, следовательно, является детерминированным числом со значением, равным $\textstyle \overline{u}=1$ . Фактически плотность вероятности $\textstyle P(u)$ при больших $\textstyle n$ — это $\textstyle \chi^2$ - распределение ( $\textstyle \lessdot$ C) с очень узким и высоким максимумом в окрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл:

$\int\limits^t_0 (\delta W_\tau)^2 = t,$

(5.11)

равен детерминированной величине $\textstyle t$ , и мы приходим к (5.10). Часто (5.11) записывают в символическом виде $\textstyle (\delta W_t)^2 \sim dt$ , что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от $\textstyle W_\tau (\delta W_\tau)^2$ не равен интегралу $\textstyle W_\tau d\tau$ .

$\textstyle \bullet$ Представим при помощи стохастического интеграла решение нестационарного уравнения Ито с нулевым сносом:

$dx = f(t)\,\delta W\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;x(t)=x(0) + \int\limits^t_{0} f(\tau) \,\delta W_\tau.$

Мы видели ( (2.18) см.Точные решения уравнения Ито, что оно выражается через гауссову переменную $\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)$ , поэтому:

$\int\limits^t_{0} f(\tau) \,\delta W_\tau = \left[ \int\limits^t_{0} f^2(\tau)\,d\tau\right]^{1/2} \cdot \varepsilon.$

(5.12)

Если подынтегральная функция зависит не только от времени, но и от винеровской переменной $\textstyle W_\tau$ , интеграл уже не будет иметь нормальное распределение. Однако, используя рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно убедиться, что для стохастического интеграла

$I_t = \int\limits^t_0 f(\tau, W_\tau)\,\delta W_\tau$

среднее равно нулю $\textstyle \left\langle I_t\right\rangle =0$ , а для среднего квадрата справедливо следующее простое соотношение:

$\left\langle I^2_t\right\rangle = \int\limits^t_0 \left\langle f^2(\tau, \varepsilon\sqrt{\tau})\right\rangle \,d\tau.$

(5.13)

То есть, чтобы вычислить $\textstyle \left\langle I^2_t\right\rangle$ , необходимо возвести подынтегральную функцию в квадрат, усреднить, а затем проинтегрировать по $\textstyle \tau$ . При усреднении мы используем обычную случайную гауссову величину $\textstyle \varepsilon$ , представляя $\textstyle W_\tau=\varepsilon\sqrt{\tau}$ .

Повторив рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно записать среднее для произведения двух процессов $\textstyle I_1(t_1)$ и $\textstyle I_2(t_2)$ с различными подынтегральными функциями $\textstyle f_1$ и $\textstyle f_2$ в различные моменты времени:

(5.14)

Соотношения (5.12)-(5.14) позволяют вычислять среднее и волатильность случайного процесса, если его решение выражено через стохастический интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложении "Справочник", стр. \pageref{ref_stoch_int_Ito}.

$\textstyle \bullet$ Используя определение стохастического интеграла в виде суммы (5.8), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейности:

$\int\limits^t_0 \bigl[\alpha f(\tau, W_\tau) + \beta g(\tau, W_\tau) \bigr] \,\delta W_\tau = \alpha \int\limits^t_0 f(\tau, W_\tau) \,\delta W_\tau + \beta \int\limits^t_0 g(\tau, W_\tau)\,\delta W_\tau,$

где $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ — некоторые константы. Кроме этого, пределы интегрирования можно разбивать на несколько частей:

$\int\limits^{t_3}_{t_1} f(\tau, W_\tau) \,\delta W_\tau = \int\limits^{t_2}_{t_1} f(\tau, W_\tau) \,\delta W_\tau + \int\limits^{t_3}_{t_2} f(\tau, W_\tau) \,\delta W_\tau.$

Естественно, предполагается, что времена упорядочены $\textstyle t_1<t_2<t_3$ .

$\textstyle \bullet$ Воспользуемся теперь леммой Ито для $\textstyle F(t, W_t)$ , считая, что $\textstyle x(t)=W_t$ — винеровский процесс с нулевым сносом и единичной дисперсией.

$dF = \left( \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial W^2} \right)dt + \frac{\partial F}{\partial W}\;\delta W.$

Интегрируя левую и правую часть, можно записать интегральную версию леммы Ито ( $\textstyle F_0=F(0, W(0))$ ):

$F(t, W_t)-F_0 =\int\limits^{t}_{0} \left[ \frac{\partial F(\tau, W_\tau)}{\partial \tau} + \frac{1}{2} \,\frac{\partial^2 F(\tau, W_\tau)}{\partial W_\tau^2} \right]d\tau +\int\limits^{t}_{0} \frac{\partial F(\tau, W_\tau)}{\partial W_\tau}\;\delta W_\tau.$

Понятно, что в этом соотношении, как и во всех выше, нижний предел в интеграле может быть произвольным моментом времени $\textstyle t_0$ . Если функция $\textstyle F$ не зависит от времени:

$F(W_t)-F(0) = \frac{1}{2} \,\int\limits^{t}_{0} F''(W_\tau) d\tau +\int\limits^{t}_{0} F'(W_\tau)\,\delta W_\tau,$

(5.15)

где штрихи — это производные по $\textstyle W$ . Это соотношение можно использовать для интегрирования "по частям". Например, если $\textstyle F=W^2$ , имеем:

$2\int\limits^t_0 W_\tau\,\delta W_\tau = W^2_t - \int\limits^{t}_{0} d\tau = W^2_t - t.$

Подобное сведение интеграла по $\textstyle \delta W$ к интегралу по времени $\textstyle d\tau$ в ряде случаев бывает удобным. Однако, если подынтегральная функция при этом зависит от $\textstyle W$ , взять такой интеграл не проще, чем по $\textstyle \delta W_\tau$ .

Площадь под траекторией Винера <<	Оглавление	>> Квадратичный функционал

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Интегралы Ито

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты