Единственность решений

Материал из Synset

Интегрирование стохастических уравнений <<	Оглавление	>> Метод последовательных приближений

Стохастические уравнения записывают, чтобы описать динамику некоторой реальной системы. Если соответствующие уравнения адекватны, то вопрос о единственности их решений обычно отходит на второй план. Тем не менее, он рано или поздно встаёт перед исследователем и является достаточно важным. Мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения, а затем перейдём к их стохастическому аналогу. Однако сначала вспомним некоторые утверждения из анализа.

$\textstyle \bullet$ Мы называем функцию $\textstyle f(x)$ непрерывной в точке $\textstyle x=c$ , если пределы при стремлении к ней слева $\textstyle x\to c-0$ и справа $\textstyle x\to c+0$ существуют и равны друг другу. Так, $\textstyle f(x)=1/x$ непрерывна во всех точках, кроме $\textstyle x=0$ . Разность $\textstyle f(x+0)-f(x-0)$ называется разрывом функции. Для $\textstyle f(x)=1/x$ в $\textstyle x=0$ он равен бесконечности.

Непрерывная на интервале функция непрерывна в каждой его точке. В этом случае она имеет ограниченные значения и всегда существует такое конечное $\textstyle M$ , что

${ \;\bigl|f(x)\bigr| \leqslant M},\;\;\;\;\;\;\;\alpha\leqslant x\leqslant \beta.$

(5.23)

Это неравенство, например, не выполняется для функций $\textstyle f(x)=1/x$ , $\textstyle f(x)=\mathrm{tg}(x)$ на интервале $\textstyle -2\leqslant x\leqslant 2$ .

Разрывная функция может как удовлетворять этому неравенству (если имеет конечный разрыв), так и не удовлетворять (для бесконечного разрыва). Непрерывная функция, не обращаясь в бесконечность на конечном интервале, всегда ему удовлетворяет. Другое эквивалентное свойство — непрерывная функция на интервале всегда имеет конечное минимальное и максимальное значения.

$\textstyle \bullet$ Теорема Ролля утверждает, что, если $\textstyle f(\alpha)=f(\beta)$ и в интервале $\textstyle [\alpha...\beta]$ производная $\textstyle f'(x)$ непрерывна, то всегда существует такая точка $\textstyle \gamma$ : $\textstyle \alpha\leqslant \gamma\leqslant \beta$ , в которой $\textstyle f'(\gamma)=0$ . Интуитивно это понятно. Если функция не постоянная и $\textstyle f(\alpha)=f(\beta)$ , то внутри $\textstyle [\alpha...\beta]$ она всегда достигнет минимума или максимума, в которых производная обратится в ноль (левый рисунок):

Важно существование на $\textstyle \alpha\leqslant x \leqslant \beta$ конечной производной. Например, для $\textstyle f(x)=1-x^{2/3}$ (рисунок справа) выполняется $\textstyle f(-1)=f(1)$ . Однако $\textstyle f'(x)=-(2/3)/x^{1/3}$ нигде в интервале $\textstyle [-1...1]$ в ноль не обращается.

$\textstyle \bullet$ Формула конечных приращений Лагранжа непосредственно следует из теоремы Ролля. Если $\textstyle f(\alpha)\neq f(\beta)$ , то для $\textstyle F(x)=f(x)+\lambda x$ всегда можно подобрать такое $\textstyle \lambda$ , что:

$F(\alpha)=F(\beta)\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\lambda = -\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}.$

Поэтому по теореме Ролля существует такое $\textstyle \gamma$ , что $\textstyle F'(\gamma)=f'(\gamma)+\lambda=0$ , и, следовательно:

${\; f(\beta)-f(\alpha) = (\beta-\alpha) \cdot f'(\gamma)},\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha\leqslant \gamma\leqslant \beta.$

(5.24)

Естественно, такая точка $\textstyle \gamma$ может быть и не одна, и мы знаем о ней только то, что она находится где-то внутри отрезка $\textstyle [\alpha...\beta]$ .

$\textstyle \bullet$ Лемма Гронуолла - Беллмана: если для констант $\textstyle A$ , $\textstyle B>0$ на $\textstyle [\alpha...\beta]$ справедливо первое неравенство (5.25), то тогда выполняется и второе:

$\;f(x) \leqslant A + B \int\limits^x_\alpha f(s)\,ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x) \leqslant A\, e^{B\cdot(x-\alpha)}\;.$

(5.25)

Для доказательства введём функцию:

$g(x) = \int\limits^x_\alpha f(s)\,ds \;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;g'(x) \leqslant A + B\, g(x),$

где мы взяли производную от $\textstyle g(x)$ и воспользовались первым неравенством (5.25). Неравенство, которому удовлетворяет $\textstyle g(x)$ , похоже на неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Поступая аналогично этому случаю и вводя функцию $\textstyle C(x)$ , имеем:

$g(x)=C(x)\,e^{Bx}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C'(x) \leqslant A\, e^{-B\,x}.$

Интегрируя его от $\textstyle \alpha$ до $\textstyle x$ и учитывая, что $\textstyle g(\alpha)=0$ и $\textstyle C(\alpha)=0$ , получаем:

$C(x) \leqslant \frac{A}{B}\left(e^{-B \alpha}-e^{-B x} \right) \;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;g(x)\leqslant \frac{A}{B}\left(e^{B (x-\alpha)}-1 \right).$

Дифференцируя последнее неравенство $\textstyle g'(x)=f(x)$ , мы приходим к (5.25). В частном случае $\textstyle A=0$ имеем такую форму леммы:

$\;f(x) \leqslant B \int\limits^x_\alpha f(s)\,ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x) \leqslant 0\;.$

(5.26)

Поэтому, если $\textstyle f(x)\geqslant 0$ и она удовлетворяет первому неравенству (5.26), то это означает, что функция равна нулю: $\textstyle f(x)=0$ .

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь обыкновенное дифференциальное уравнение:

$\frac{dx}{dt} = a(x,t).$

(5.27)

Для него справедлива теорема о существовании и единственности:

Если в открытой области $\textstyle G$ на плоскости $\textstyle (x,t)$ функция $\textstyle a(x,t)$ непрерывна и имеет непрерывную производную по $\textstyle x$ , то через любую точку $\textstyle G$ проходит одно и только одно решение (5.27).

Если производная непрерывна, то в соответствии с (5.23) она ограничена: $\textstyle |\partial a/\partial x| \leqslant M$ , и по формуле конечных приращений (5.24) мы имеем неравенство Липшица:

$|a(y,t)-a(x,t)| \leqslant M \cdot |y-x|,$

(5.28)

Оно является непосредственным следствием непрерывности $\textstyle \partial a(x,t)/\partial x$ .

Докажем единственность решения (5.27), представив его в форме интегрального уравнения:

$x(t) = x_0 + \int\limits^t_{t_0} a\bigl(x(\tau), \tau\bigr) \, dt.$

Пусть на интервале $\textstyle [t_0\, ...\, t]$ существуют два решения $\textstyle x(t)$ и $\textstyle y(t)$ с одинаковым начальным условием $\textstyle x(t_0)=y(t_0)=x_0$ . Запишем их в интегральной форме и вычтем:

$y(t)-x(t) = \int\limits^t_{t_0} \left\{ a\bigl(y(\tau), \tau\bigr)- a\bigl(x(\tau), \tau\bigr) \right\} \, dt.$

Так как сумма модулей всегда больше модуля суммы, имеем:

$|y(t)-x(t)| \leqslant \int\limits^t_{t_0} \left| a\bigl(y(\tau), \tau\bigr)- a\bigl(x(\tau), \tau\bigr) \right| \, dt \leqslant M\cdot \int\limits^t_{t_0} \left| y(\tau)- x(\tau) \right| \, dt,$

где во втором неравенстве мы воспользовались условием Липшица (5.28). В соответствии с леммой Гронуолла - Беллмана (5.26), из этого неравенства следует, что $\textstyle |y(t)-x(t)|=0$ , и, следовательно, решения совпадают.

Подобное доказательство "от противного" типично для многих "неконструктивных" рассуждений в математике. Заметим, что мы доказали, что, если производная $\textstyle a(x,t)$ по $\textstyle x$ непрерывна, то решение единственно. Для разрывной производной может появиться более одного решения.

$\textstyle \bullet$ Большинство уравнений имеют единственное решение. Однако бывают и исключения. Рассмотрим пример:

$\frac{dx}{dt} = 3 x^{2/3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{1/3} = x^{1/3}_0 + t-t_0.$

(5.29)

Если начальное условие $\textstyle x_0=x(0)=0$ , то формально решение имеет вид $\textstyle x=t^3$ . Однако несложно проверить, что следующая функция также является решением (5.29) и удовлетворяет начальным условиям $\textstyle x(0)=0$ :

где $\textstyle T$ — произвольное число. Причина неоднозначности - в нарушении условия Липшица (бесконечность производной $\textstyle a'(x)=2/x^{1/3}$ в $\textstyle x=0$ ). В реальном Мире, если некоторая система описывается (5.29), то она не сдвинется из начального состояния $\textstyle x(0)=0$ , если "решает" уравнение итерациями. Спустя произвольный момент времени $\textstyle T$ может произойти внешнее воздействие (флуктуация), которое "столкнёт" итерационный процесс с нулевой отметки. Это и приведёт к неоднозначному решению ( $\textstyle \lessdot$ C).

$\textstyle \bullet$ Кроме неоднозначности, с решениями уравнений может произойти ещё одна неприятность. Рассмотрим следующую задачу:

$\frac{dx}{dt} = x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;x(t)=\frac{x_0}{1-(t-t_0)x_0}.$

Через конечное время $\textstyle t-t_0=1/x_0$ от начального момента решение обращается в бесконечность. Подобная ситуация называется "взрывом решения". За редкими исключениями подобные модели не соответствуют реальным системам или являются лишь их грубым приближением.

$\textstyle \bullet$ С начальным условием дифференциального уравнения связана одна тонкость. Не любая функция $\textstyle x=f(x_0, t_0, t)$ со значением $\textstyle x_0=f(x_0,t_0,t_0)$ удовлетворяет хоть какому-то дифференциальному уравнению первого порядка. Так, в производной по времени функции $\textstyle x=x_0+\sin (t-t_0)$ никакими заменами и выбором $\textstyle a(x,t)$ не удастся одновременно избавиться и от $\textstyle x_0$ , и от $\textstyle t_0$ . Подставляя в уравнение решение $\textstyle x=f(x_0,t_0,t)$ , мы должны так его преобразовать, чтобы константы $\textstyle x_0$ , $\textstyle t_0$ , являющиеся "внешними" к уравнению начальными условиями, сократились.

$\textstyle \bullet$ Перейдём теперь к стохастическим дифференциальным уравнениям. Так как мы работаем со случайными процессами, различные реализации траектории $\textstyle x(t)$ могут отличаться сколь угодно сильно. Говоря о единственности решения, мы подразумеваем единственность плотности вероятности $\textstyle P(x_0, t_0 \Rightarrow x, t)$ , которая влечёт за собой единственность среднего значения, волатильности, автоковариационной функции и т.д.

Докажем, что для уравнения

$dx = a(x,t)\, dt + b(x,t)\,\delta W$

решение будет единственным, если производные по $\textstyle x$ сноса $\textstyle a(x,t)$ и волатильности $\textstyle b(x,t)$ непрерывны. Непрерывность означает, что производные ограничены (нигде не обращаются в бесконечность):

$\left|\frac{\partial a(x,t)}{\partial x}\right| \leqslant M_a,\;\;\;\;\;\;\;\;\left|\frac{\partial b(x,t)}{\partial x}\right| \leqslant M_b.$

Поэтому в силу формулы Лагранжа каждая из них удовлетворяет неравенству Липшица:

$\begin{array}{lll} |a(y,t)-a(x,t)| &\leqslant &M_a\cdot |y-x|,\\ |b(y,t)\,-b(x,t)| &\leqslant &M_b\cdot |y-x|. \end{array}$

(5.30)

Будем действовать так же, как и в детерминированном случае. Перейдём к интегральному уравнению:

$x(t) = x_0 + \int\limits^t_{t_0} a\bigl(x(s),s\bigr)\, ds + \int\limits^t_{t_0} b\bigl(x(s),s\bigr)\,\delta W_s.$

Пусть существуют две разные случайные функции $\textstyle x_t=x(t)$ и $\textstyle y_t=y(t)$ с одинаковым начальным условием $\textstyle x(t_0)=y(t_0)=x_0$ , которые удовлетворяют этому уравнению. Найдём дисперсию их разности:

где $\textstyle a_{yx}(s)=a\bigl(y(s),s\bigr)-a\bigl(x(s),s\bigr)$ , $\textstyle b_{yx}(s)=b\bigl(y(s),s\bigr)-b\bigl(x(s),s\bigr)$ - разности сноса или волатильности, вычисленные для каждого решения.

Для двух $\textstyle n$ - мерных векторов $\textstyle \{\alpha_1,...,\alpha_n\}$ и $\textstyle \{\beta_1,...,\beta_n\}$ скалярное произведение всегда меньше, чем произведение их длин (косинус угла между ними меньше единицы). Поэтому справедливо неравенство Коши - Буняковского:

$(\alpha_1\beta_1+...+\alpha_n\beta_n)^2 \leqslant (\alpha^2_1+...+\alpha^2_n)\cdot(\beta^2_1+...+\beta^2_n).$

Если все $\textstyle \beta_i=1$ , имеем такой вариант этого неравенства:

$(\alpha_1+...+\alpha_n)^2 \leqslant n\cdot(\alpha^2_1+...+\alpha^2_n).$

В нашем случае $\textstyle n=2$ , поэтому:

Для первого интеграла (точнее, его интегральной суммы) снова применим неравенство Коши-Буняковского c $\textstyle n=(t-t_0)/\Delta s$ . Среднее значение квадрата стохастического интеграла по $\textstyle \delta W$ можно записать через среднее от обычного интеграла по времени (5.13), поэтому:

Воспользуемся теперь неравенствами Липшица (5.30), возведя их в квадрат. В результате:

$\left\langle (y_t-x_t)^2\right\rangle \leqslant M \int\limits^t_{t_0} \left\langle (y_t-x_t)^2 \right\rangle \, ds,$

где $\textstyle M=2(t-t_0)M^2_a+2M^2_b$ . Среднее разности решений $\textstyle \left\langle (y_t-x_t)^2\right\rangle$ — это обычная функция времени, поэтому, применяя лемму Гронуолла — Беллмана (5.26), приходим к выводу, что $\textstyle \left\langle (y_t-x_t)^2\right\rangle =0$ .

Среднее является интегралом с положительной плотностью вероятности. Величина $\textstyle (y_t-x_t)^2$ также положительна. Интеграл от положительной функции может быть равен нулю, только когда она равна нулю. В результате мы приходим к выводу, что $\textstyle x(t)=y(t)$ , и решение единственно.

Интегрирование стохастических уравнений <<	Оглавление	>> Метод последовательных приближений

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Единственность решений

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты