Динамическое уравнение для средних

Материал из Synset

Порождающий процесс Винера <<	Оглавление	>> Процесс Феллера

$\textstyle \bullet$ Для получения информации о случайном процессе $\textstyle x(t)$ можно сначала решить уравнение Ито, а затем вычислить наблюдаемые характеристики процесса, которые, в конечном счёте, являются средними между различными величинами. Было бы здорово сразу иметь уравнения для наблюдаемых, исключая первый этап.

Рассмотрим итерационную схему в моменты времени $\textstyle t$ и $\textstyle t+dt$ :

$x(t+dt) = x + a(x,t)\,dt + b(x,t)\,\varepsilon\, \sqrt{dt}.$

(3.1)

Значение процесса $\textstyle x=x(t)$ и гауссова величина $\textstyle \varepsilon$ являются двумя независимыми случайными величинами. В результате вычисления (3.1) возникает новое случайное число $\textstyle x(t+dt)$ . Чтобы найти его среднее значение необходимо проинтегрировать левую часть (3.1) с марковской плотностью $\textstyle P(x_0,t_0\Rightarrow x+dt, t+dt)$ . Эквивалентный результат получится при усреднении правой части с $\textstyle P(x_0,t_0\Rightarrow x, t)\cdot P(\varepsilon)$ , где $\textstyle P(\varepsilon)$ — гауссова плотность вероятности. Так как $\textstyle x$ и $\textstyle \varepsilon$ независимы и $\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0$ , то усреднение последнего слагаемого в (3.1) даёт ноль, поэтому:

$\left\langle x(t+dt)\right\rangle = \left\langle x(t)\right\rangle + \left\langle a(x(t), t)\right\rangle \,dt.$

Перенося $\textstyle \left\langle x(t)\right\rangle$ влево и разделив обе части на $\textstyle dt$ , мы приходим к динамическому уравнению для среднего:

$\frac{d\left\langle x\right\rangle }{dt}= \dot{\left\langle x\right\rangle } = \left\langle a(x, t)\right\rangle .$

(3.2)

Если $\textstyle a(x,t)=\alpha(t)+\beta(t)\, x$ , то (3.2) имеет ту же форму, что и детерминированное уравнение:

$\dot{\left\langle x\right\rangle } = \alpha(t)+\beta(t)\, \left\langle x\right\rangle .$

Поэтому при любой волатильности $\textstyle b(x,t)$ среднее значение процесса с линейным по $\textstyle x$ сносом совпадает с детерминированным решением. Однако в нелинейном случае это не так!

Абсолютно аналогично, усредняя произвольную функцию $\textstyle F=F(x,t)$ , изменение которой подчиняется лемме Ито (2.15), получаем:

${ \;\frac{d\left\langle F(x,t)\right\rangle }{dt} = \left\langle \frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\cdot \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2}\cdot \frac{\partial^2 F }{\partial x^2} \right\rangle \; }.$

(3.3)

Выбирая те или иные функции $\textstyle F(x,t)$ , можно получить множество полезных соотношений для средних величин.

$\textstyle \bullet$ В качестве примера рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:

$dx = -\beta\cdot (x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W,$

решение которого в предыдущей главе мы выразили через гауссову переменную. В данном случае снос является линейным по $\textstyle x$ , и сразу получается зависимость среднего от времени:

$\dot{\left\langle x\right\rangle } = -\beta\cdot\bigl(\left\langle x\right\rangle -\alpha\bigr)\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x\right\rangle = \alpha + \bigl(x_0-\alpha\bigr) e^{-\beta t}.$

В качестве начального условия при $\textstyle t_0=0$ выбрано значение среднего, равное $\textstyle x_0$ . Вообще, если в начальный момент времени $\textstyle x=x_0$ , то средние произвольной степени при $\textstyle t_0=0$ равны $\textstyle \left\langle x^n\right\rangle =x^n_0$ . Действительно, средние детерминированных величин равны им самим, а начальная плотность вероятности равна дельта - функции: $\textstyle P(x_0, t_0\Rightarrow x, t_0)=\delta(x-x_0)$ . В более общем случае можно рассматривать произвольное начальное распределение вероятностей, задавая $\textstyle \left\langle x^n\right\rangle$ в момент $\textstyle t_0=0$ .

Выбирая теперь $\textstyle F=x^2$ , получим уравнение для квадрата:

$\dot{\left\langle x^2\right\rangle } = -2 \beta\,\left\langle x^2\right\rangle + 2\alpha\beta \,\left\langle x\right\rangle + \sigma^2.$

Функция $\textstyle \left\langle x\right\rangle$ нам известна, и уравнение несложно проинтегрировать:

$\left\langle x^2\right\rangle = \left[\alpha + \bigl(x_0-\alpha\bigr) e^{-\beta t}\right]^2 + \gamma^2\,\left(1-e^{-2\beta t}\right),$

где $\textstyle \gamma=\sigma/\sqrt{2\beta}$ . Откуда волатильность процесса равна:

$\sigma_x(t) = \gamma\,\sqrt{1-e^{-2\beta t}}.$

Если в задаче возможен стационарный режим, то уравнения для средних часто позволяют получить асимптотические значения величин. Для этого достаточно положить производную по времени равной нулю. Так, для процесса Орнштейна - Уленбека, выбирая $\textstyle F=x^n$ , имеем:

$\dot{\left\langle x^n\right\rangle }= 0 \;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\; \left\langle x^{n}\right\rangle = \alpha \left\langle x^{n-1}\right\rangle + (n-1)\gamma^2 \,\left\langle x^{n-2}\right\rangle .$

Так как среднее единицы равно единице: $\textstyle \left\langle x^0\right\rangle =\left\langle 1\right\rangle =1$ , из этого уравнения последовательно находим:

$\left\langle x\right\rangle = \alpha,\;\;\;\;\left\langle x^2\right\rangle =\alpha^2+\gamma^2,\;\;\;\; \left\langle x^3\right\rangle =\alpha^3+3\alpha\gamma^2,\;\;\;\; \left\langle x^4\right\rangle =\alpha^4+6\alpha^2\gamma^2+3\gamma^4.$

Естественно, этот же результат можно получить и из асимптотического решения, выраженного через гауссову переменную (стр. \pageref{sol_OU}):

$x = \alpha + \gamma\,\varepsilon.$

Для этого необходимо возвести $\textstyle x$ в соответствующую степень и усреднить, с учётом $\textstyle \left\langle \varepsilon^{2n+1}\right\rangle =0$ , $\textstyle \left\langle \varepsilon^{2n}\right\rangle =1\cdot 3\cdot 5\cdot ..\cdot (2n-1)$ .

В качестве упражнения предлагается найти среднее для уравнения: $\textstyle dx = (\alpha + \beta x)\, dt + (\sigma +\gamma x)\, \delta W$ ( $\textstyle \lessdot$ H).

$\textstyle \bullet$ Из соотношения (3.3) несложно получить уравнение, которому удовлетворяет плотность вероятности $\textstyle P(x)$ в стационарном режиме. Выберем функцию $\textstyle F(x)$ , не зависящую от времени, и положим производную $\textstyle \left\langle F(x)\right\rangle$ равной нулю. Запишем усреднение в явном виде:

$\int\limits^{\infty}_{-\infty}P(x)\, \left[ a(x)\cdot \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x)}{2}\cdot \frac{\partial^2 F }{\partial x^2} \right]\, dx = 0.$

Интегрируя по частям первое слагаемое один раз, а второе — два, и считая, что $\textstyle P(x)$ достаточно быстро убывает на бесконечности, получаем:

$\int\limits^{\infty}_{-\infty}\left[ - \frac{\partial (a\cdot P)}{\partial x} + \frac{1}{2}\cdot \frac{\partial^2 (b^2\cdot P) }{\partial x^2} \right]\,F(x)\, dx = 0.$

Так как функция $\textstyle F(x)$ произвольна, то интеграл будет равен нулю, только если равно нулю выражение в квадратных скобках. В результате получается стационарное уравнение Фоккера - Планка:

$\frac{\partial}{\partial x} \;\bigl[ a(x) \cdot P\bigr] = \frac{1}{2}\;\frac{\partial^2}{\partial x^2} \;\bigl[ b^2(x) \cdot P \bigr]$

которое легко интегрируется:

$a(x) P = \frac{1}{2}\;\frac{\partial}{\partial x} \;\bigl[ b^2(x) \cdot P\bigr].$

Для диффузных процессов плотность вероятности быстро убывает на бесконечности, так что существуют средние произвольной степени $\textstyle \left\langle x^m\right\rangle$ . Поэтому, устремив $\textstyle x\to\infty$ , мы получим слева и справа ноль, что подтверждает правильность выбора нулевой константы интегрирования. Таким образом, стационарное уравнение Фоккера - Планка оказывается уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:

$\frac{1}{2}\, \frac{P'(x)}{P(x)} =\frac{a(x)}{b^2(x)} - \frac{b'(x)}{b(x)},$

(3.4)

где штрих у функций — это производная по $\textstyle x$ . Его решение имеет вид:

$P(x) = \frac{C}{b^2(x)}\, \exp \left\{2\int\frac{a(x)}{b^2(x)} \, dx \right\}{\bigl|} .$

(3.5)

Константа интегрирования $\textstyle C$ находится из условия нормировки. Выполнимость этого условия является критерием возможности стационарного решения. Так, для логарифмического блуждания (стр. \pageref{log_winer}) со сносом $\textstyle a(x)=\mu \, x$ и волатильностью $\textstyle b(x)=\sigma\, x$ имеем $\textstyle P(x)\sim x^{-2+2\mu/\sigma^2}$ . Ни при каком значении параметров эта функция не может быть отнормирована.

$\textstyle \bullet$ В качестве простого примера стационарного решения уравнения Фоккера - Планка рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:

$dx = -\beta\cdot(x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W.$

Интегрирование в (3.5) приводит к следующей плотности вероятности:

$P(x) = \frac{1}{\sigma}\,\sqrt{\frac{\beta}{\pi}}\,\exp\left\{-\frac{(x-\alpha)^2}{\sigma^2/\beta}\right\},$

которая является распределением Гаусса. В терминах случайных величин $\textstyle P(x)$ можно записать в виде:

$x = \alpha + \frac{\sigma}{\sqrt{2\beta}}\, \varepsilon,$

где $\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)$ — гауссова переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Аналогично, предлагается найти ( $\textstyle \lessdot$ H) асимптотическую плотность вероятности для процесса $\textstyle dx = -\beta\cdot (x-\alpha) \,dt + \sigma\, x^\nu\, \delta W$ .

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим ещё одну задачу:

$dx = \sigma \sqrt{\alpha^2+x^2}\,\delta W.$

Так как снос равен нулю $\textstyle a=0$ , то среднее значение не изменяется со временем $\textstyle \left\langle x\right\rangle =x_0$ . Для среднего квадрата имеем:

$\dot{\left\langle x^2\right\rangle } = \sigma^2\, (\alpha^2+\left\langle x^2\right\rangle )\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x^2\right\rangle = (\alpha^2 + x^2_0)\,e^{\sigma^2 \,t} - \alpha^2.$

Поэтому дисперсия процесса

$\sigma^2_x(t) = (\alpha^2 + x^2_0)\,\left(e^{\sigma^2 \,t} -1\right)$

в пределе $\textstyle t\to\infty$ стремится к бесконечности. Тем не менее, в этом случае стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к распределению Коши:

$P(x) = \frac{\alpha/\pi}{x^2+\alpha^2},$

к которому действительно приближается плотность вероятности процесса. В этом случае стационарность несколько патологична. В частности, не существуют $\textstyle \left\langle x^n\right\rangle$ при $\textstyle n>1$ .

Порождающий процесс Винера <<	Оглавление	>> Процесс Феллера

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Динамическое уравнение для средних

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты