Диверсификация

Материал из Synset

Эмпирические закономерности <<	Оглавление	>> Портфель на всю жизнь

Участники рынка редко покупают только один финансовый инструмент. Чаще они формируют инвестиционный портфель, содержащий в своём составе много различных активов, например, акций. Поэтому перед инвестором стоит задача выбора оптимального состава портфеля.

Изменения цены любой акции в два последовательных момента времени практически независимы. Однако между собой изменения цен различных акций за один и тот же период времени часто оказываются существенно скоррелированными. Этот факт необходимо учитывать при формировании портфеля.

Рассмотрим $\textstyle n$ компаний, акции которых можно купить на рынке. Пусть изменение цены акции $\textstyle i$ -й компании характеризуется логарифмической доходностью $\textstyle r_i(t)=\ln(x_i(t)/x_i(t-1))\approx dx_i/x_i$ . Доходность $\textstyle r_i(t)$ может включать также дивидендный доход. Везде в этом разделе нижний индекс обозначает номер компании, а не момент времени.

При формировании портфеля необходимо принять решение, какую долю $\textstyle w_i$ имеющихся денег $\textstyle \Pi$ потратить на покупку акций $\textstyle i$ -той компании. Если её цена равна $\textstyle x_i$ и их куплено $\textstyle N_i$ штук, то $\textstyle w_i=N_i x_i /\Pi$ . Сумма всех долей в портфеле должна равняться единице:

$\Pi=\sum^n_{i=1} N_i x_i\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\sum^n_{i=1} w_i = w_1 + w_2 + ... + w_n = 1.$

Примем модель, в которой последовательные доходности данной акции являются независимыми стационарными случайными числами, имеющими среднее $\textstyle \bar{r}_i$ и волатильность $\textstyle \sigma_i$ . Тогда и суммарная доходность портфеля из $\textstyle n$ акций за фиксированный период времени также будет случайной величиной:

$r = \sum^n_{i=1} w_i r_i = w_1 r_1 + w_2 r_2 + ... + w_n r_n,$

имеющей своё среднее значение:

$\bar{r} = \sum^n_{i=1} w_i \bar{r}_i$

(8.1)

и волатильность:

$\sigma^2 = \left\langle (r-\bar{r})^2\right\rangle = \sum_{i,j=1}^n w_iw_j\;\left\langle (r_i - \bar{r}_i)(r_j - \bar{r}_j)\right\rangle = \sum_{i,j=1}^n w_i \,D_{ij}\,w_j,$

(8.2)

где $\textstyle D_{ij}$ — ковариационные\index{ковариационный коэффициент} коэффициенты доходностей между акциями $\textstyle i$ -й и $\textstyle j$ -й компаний.

Выбрав в портфеле тот или иной набор весов $\textstyle w_1,...,w_n$ , мы для него получим некоторую среднюю доходность $\textstyle \bar{r}$ и волатильность $\textstyle \sigma$ . Если перебрать все возможные портфели, то на плоскости ( $\textstyle \sigma$ , $\textstyle \bar{r}$ ) получится похожая на зонтик область, называемая достижимым множеством:

Из достижимого множества выбирается такой портфель, который при фиксированной волатильности имеет максимальный доход, или при фиксированной доходности — минимальную волатильность. Таким портфелям на рисунке соответствует кривая $\textstyle AB$ , так называемое эффективное множество.

Действительно, зафиксировав $\textstyle \sigma$ (точка $\textstyle S$ ) и поднимаясь вдоль прямой $\textstyle SP$ для получения наибольшего дохода, мы попадём в точку $\textstyle P$ на кривой $\textstyle AB$ . Аналогичное рассуждение справедливо и при движении в горизонтальном направлении.

Кривая $\textstyle AB$ явным образом отражает расхожее эмпирическое утверждение о том, что чем больше доход, тем выше риск, и наоборот. При этом: мерой измерения риска служит волатильность портфеля. Интуитивно это понятно. Чем больше волатильность, тем более вероятны существенные отклонения доходности портфеля от среднего, в том числе и в отрицательную область убытков.

$\textstyle \bullet$ Инвестор имеет определенную свободу в выборе точки на кривой эффективного множества. Однако эта свобода исчезает, если помимо покупки акций планируется разместить часть средств в некоторый актив с гарантированной доходностью $\textstyle r_f$ (risk-free). В качестве такого актива может выступать, например, банковский депозит или надежная облигация.

Предположим, что инвестор выбрал портфель акций с доходностью $\textstyle r_M$ и волатильностью $\textstyle \sigma_M$ . Тогда комбинацию из этого портфеля и безрискового депозита можно рассматривать, как новый портфель из двух активов. Один — с параметрами ( $\textstyle \sigma_M, \bar{r}_M$ ), другой - с ( $\textstyle 0, r_f$ ). Депозит имеет нулевую волатильность и нулевую корреляцию с портфелем, так как независимо от ситуации на рынке он всегда приносит один и тот же доход $\textstyle r_f$ .

Пусть в акции вложена часть денег $\textstyle w_1=w$ , а остальные $\textstyle w_2=1-w$ размещены в безрисковом активе. Тогда уравнения (8.1), (8.2) для двух активов имеют вид:

$\begin{array}{lcl}\bar{r} &=& w r_M + (1-w) r_f \\ \sigma &=& w \sigma_M. \end{array}$

Исключая $\textstyle w=\sigma/\sigma_M$ , получаем уравнение прямой:

$\bar{r}(\sigma) = r_f + \frac{r_M-r_f}{\sigma_M} \; \sigma.$

(8.3)

Эта прямая должна проходить как можно выше, т.е. при фиксированной волатильности давать максимальный доход. Одна её точка $\textstyle (0, r_f)$ закреплена, а другая находится внутри множества портфелей. Поэтому выше всех (самая доходная) будет прямая, касающаяся сверху эффективной границы:

Точка касания $\textstyle M$ — "касательный портфель" — однозначно определяется безрисковой ставкой $\textstyle r_f$ и статистическими параметрами акций. Эффективным множеством теперь становится отрезок $\textstyle r_fM$ и его "продолжение" $\textstyle MB$ по граничной кривой эффективного множества.

Таким образом, в случае размещения в безрисковом активе даже небольшой части средств инвестора наиболее оптимальным портфелем акций оказывается касательный портфель. Рациональный инвестор может управлять своими рисками только путём выбора доли $\textstyle w$ средств, которые он вкладывает в акции, но не структурой этого портфеля. Достаточно неожиданный для интуиции результат!

Касательный портфель $\textstyle M$ представляет собой выделенную точку эффективного множества. Он соответствует максимально возможному наклону прямой:

$k = \frac{\bar{r}-r_f}{\sigma} = max.$

Это отношение называется коэффициентом Шарпа.

$\textstyle \bullet$ Доходности акций сильно скоррелированы. Поэтому иногда используют модель линейной зависимости доходности акции и рынка в целом:

$r_i = \alpha_i + \beta_i \; r_M + \xi_i,$

(8.4)

где $\textstyle r_i$ — ежедневное или еженедельное изменение цены (доходность) $\textstyle i-$ той акции, а $\textstyle r_M$ — изменение фондового индекса, такого, как S\&P500 или Dow. Величины $\textstyle \xi_i$ считаются случайными воздействиями на конкретную бумагу, не зависящими от рыночных колебаний $\textstyle r_M$ , т.е. $\textstyle \left\langle r_M \xi_i\right\rangle = \left\langle r_M\right\rangle \left\langle \xi_i\right\rangle$ . Это линейная модель (стр. \pageref{line_model}), поэтому наклон прямой, характеризующий чувствительность изменения цены $\textstyle i$ -й бумаги к изменению цены рынка в целом (бета - коэффициент), равен:

$\beta_i = \frac{\left\langle (r_i-\bar{r}_i)(r_M-\bar{r}_M)\right\rangle }{\sigma^2_M}.$

Значения коэффициента $\textstyle \beta_i$ не ограничены пределами [-1...1]. Если бета больше единицы ( $\textstyle \sigma_i > \sigma_M$ ), это означает, что бумага в момент падения рынка, скорее всего, также упадет, причем сильнее, чем рынок, а при росте, наоборот, — обгонит его. Отрицательные беты (крайне редкое явление) и положительные средние доходности $\textstyle \bar{r}_i$ дают возможность инвестировать в бумаги, судьба которых развивается в противофазе с рынком. Бумаги с $\textstyle \beta_i<1$ называют оборонительными.

Переход к линейной модели (8.4) позволяет существенно упростить вычисление ковариационных коэффициентов в портфельной теории:

$\left\langle (r_i - \bar{r}_i)(r_j - \bar{r}_j)\right\rangle = \beta_i \beta_j \;\sigma_M^2 + \xi_{ij},\;\;\;где\;\xi_{ij} = \left\langle (\xi_i-\bar{\xi}_i)(\xi_j-\bar{\xi}_j)\right\rangle .$

В частности:

$\sigma^2_i=\beta^2_i\sigma^2_M + \sigma_{\xi_i}^2.$

Говорят, что волатильность акции состоит из двух составляющих — общерыночного риска $\textstyle \beta^2_i\sigma^2_M$ и собственного риска бумаги $\textstyle \sigma_{\xi_i}^2=\xi_{ii}$ .

Если пренебречь величинами $\textstyle \xi_{ij}$ , то волатильность портфеля (8.2), составленного из $\textstyle n$ акций с весовыми коэффициентами $\textstyle w_i$ , будет равна:

$\sigma^2 = \sum^n_{i,j=1} w_i w_j \left\langle (r_i - \bar{r}_i)(r_j - \bar{r}_j)\right\rangle =\sigma^2_M \sum^n_{i,j=1} w_i w_j \beta_i\beta_j =\left[\sigma_M \sum^n_{i=1} w_i \beta_i\right]^2.$

Вместо квадратичной проблемы оптимизации получается задача линейного программирования, т.е. поиск максимума выражения $\textstyle \bar{r}=\sum w_i \bar{r}_i$ при ограничениях $\textstyle \sum w_i=1$ , $\textstyle \sum w_i \beta_i = \sigma/\sigma_M$ и $\textstyle 0\leqslant w_i \leqslant 1$ . Решая задачу для различных $\textstyle \sigma$ , мы получим эффективное множество $\textstyle \bar{r}(\sigma)$ . Естественно оно будет несколько отличаться от точного, найденного из соотношений (8.1), (8.2).

Эмпирические закономерности <<	Оглавление	>> Портфель на всю жизнь

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Диверсификация

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты