Вероятность достижения границы

Материал из Synset

Граничные условия <<	Оглавление	>> Разложение вероятности по базису

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь вероятность достижения при блуждании границ интервала $\textstyle [\alpha..\beta]$ . Пусть это будут поглощающие границы, и в начальный момент времени $\textstyle t_0=0$ частица находится в некоторой точке $\textstyle \alpha < x_0 < \beta$ . Вероятность $\textstyle p(x_0, t)$ того, что в момент времени $\textstyle t$ она ещё ни разу не коснулась границ и находится внутри интервала $\textstyle [\alpha..\beta]$ , равна:

$p(x_0, t) = \int\limits^\beta_\alpha P(x_0, 0\Rightarrow x,t) \, dx = \int\limits^\beta_\alpha P(x_0, -t\Rightarrow x,0) \, dx.$

(4.17)

Второе равенство записано для однородных систем, у которых снос и волатильность не зависят от времени. Именно их мы сейчас и рассмотрим. Для таких систем можно сдвинуть начало отсчёта времени, считая начальным $\textstyle t_0=-t$ , а "конечным" — $\textstyle t=0$ . Возьмём производную по $\textstyle t$ выражения (4.17) и воспользуемся первым уравнением Колмогорова (4.6). В результате уравнение для $\textstyle p=p(x_0, t)$ имеет вид:

$a(x_0) \,\frac{\partial p}{\partial x_0} + \frac{b^2(x_0)}{2} \,\frac{\partial^2 p}{\partial x_0^2} = \frac{\partial p}{\partial t}.$

(4.18)

Для плотности вероятности справедливо начальное условие в виде функции Дирака $\textstyle P(x_0, 0\Rightarrow x,0)=\delta (x-x_0)$ . Поэтому из (4.17) следует начальное условие: $\textstyle p(x_0, 0) = 1$ (частица гарантированно находится в $\textstyle \alpha < x_0 < \beta$ ). Кроме этого, если $\textstyle x_0$ оказывается на границе, вероятность дальнейшего пребывания в интервале $\textstyle [\alpha..\beta]$ будет равной нулю, поэтому:

p (α, t) = p (β, t) = 0.

Обозначим через $\textstyle T$ время достижения одной из границ. Понятно, что $\textstyle T$ -случайная величина и $\textstyle p(x_0, t)$ — это интегральная вероятность того, что $\textstyle T \geqslant t$ ("всё ещё находится"). Вероятность, что $\textstyle T < t$ , равна $\textstyle 1-p(x_0, t)$ . Её производная по $\textstyle t$ даст плотность вероятности того или иного времени пребывания в интервале $\textstyle [\alpha..\beta]$ . Поэтому, например, среднее время пребывания равно:

$\left\langle T\right\rangle = \int\limits^\infty_0 t\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(1-p(x_0, t)\bigr) \,dt = \int\limits^\infty_0 p(x_0, t) \,dt.$

Мы считаем, что $\textstyle p(x_0, \infty)=0$ , т.к. частица в ограниченном пространстве $\textstyle [\alpha..\beta]$ рано или поздно достигает одной из границ. Для среднего $\textstyle n$ -той степени от $\textstyle T$ введём следующее обозначение $\textstyle T_n(x_0)=\left\langle T^n\right\rangle$ и найдём уравнение, которому удовлетворяет функция $\textstyle T_n(x_0)$ .

$\textstyle \bullet$ Проведя интегрирование по частям в определении $\textstyle \left\langle T^n\right\rangle$ , получаем:

$T_n(x_0) = \left\langle T^n\right\rangle = - \int\limits^\infty_0 t^{n} \frac{\partial p(x_0, t)}{\partial t} \,dt = n \int\limits^\infty_0 t^{n-1} p(x_0, t) \,dt.$

(4.19)

Умножим уравнение (4.18) на $\textstyle nt^{n-1}$ и проинтегрируем по $\textstyle dt$ :

$a(x_0) \,T'_n(x_0) + \frac{b^2(x_0)}{2} \, T''_n(x_0) = - n T_{n-1}(x_0).$

Благодаря нормировочному условию $\textstyle \left\langle 1\right\rangle =1$ имеем $\textstyle T_0(x_0)=1$ . Поэтому мы получили последовательность уравнений с правой частью, определяемой на предыдущей итерации. В частности, для среднего времени $\textstyle T(x_0)=T_1(x_0)$ :

$a(x_0) \,T'(x_0) + \frac{b^2(x_0)}{2} \, T''(x_0) = -1$

с граничными условиями $\textstyle T(\alpha)=T(\beta)=0$ (если частица в начальном положении $\textstyle x_0$ была на границе, то она сразу покинет пространство).

Например, при винеровском блуждании с нулевым сносом $\textstyle \mu=0$ и волатильностью $\textstyle \sigma$ имеем:

$\frac{\sigma^2}{2}\,T''= -1\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\frac{\sigma^2}{2}\,T= - \frac{x^2_0}{2} + A x_0 + B,$

где $\textstyle A$ и $\textstyle B$ — константы интегрирования. Пусть поглощающие границы находятся в точках $\textstyle x=0,\;L$ . Тогда граничные условия $\textstyle T(0)=T(L)=0$ приводят к:

$\left\langle T\right\rangle = T(x_0) = \frac{x_0\cdot (L-x_0)}{\sigma^2}.$

Максимальное среднее время $\textstyle \left\langle T\right\rangle =L^2/4\sigma^2$ достижения границ получается тогда, когда в начальный момент частица находится в центральной части интервала $\textstyle x_0=L/2$ . В силу симметрии задачи (сноса нет) этот результат вполне ожидаем. Даже если $\textstyle x_0$ находится недалеко от $\textstyle x=0$ , то при $\textstyle L\to\infty$ среднее время также стремится к бесконечности.

В качестве упражнения ( $\textstyle \lessdot$ H) стоит решить эту же задачу при ненулевом сносе и рассмотреть предел "широкого" пространства $\textstyle L\to\infty$ .

Граничные условия <<	Оглавление	>> Разложение вероятности по базису

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Вероятность достижения границы

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты