Аберрация

Материал из Synset

Размер и форма объектов <<	Оглавление	>> Звёздное небо

$\textstyle \bullet$ Аберрация аналогична эффекту Доплера, однако при этом "искажается" не частота излучения источника, а его видимое положение. Как и эффект Доплера, аберрация имеет классическую составляющую и поправки, связанные с релятивистскими эффектами. Впервые аберрация была обнаружена как изменение положения звёзд при движении Земли по орбите вокруг Солнца. Поэтому начнём мы именно с этого примера.

Пусть неподвижный относительно Солнца наблюдатель $\textstyle S$ видит в направлении $\textstyle \theta$ от плоскости орбиты Земли так же неподвижную звезду (в астрономии этот угол называется склонением). Другой наблюдатель $\textstyle S'$ на Земле движется относительно первого со скоростью $\textstyle v$ (рисунок слева):

Когда наблюдатели окажутся в одной точке, землянин увидит звезду под углом $\textstyle \theta'$ (второй рисунок). Для землянина звезда движется ему навстречу со скоростью $\textstyle v$ , поэтому она видна из положения $\textstyle A$ , которое занимала некоторое время $\textstyle t'$ назад. Это время необходимо свету, чтобы пройти гипотенузу треугольника ( $\textstyle c=1$ ). "Истинное" положение звезды соответствует точке $\textstyle B$ . Неподвижный относительно звезды наблюдатель $\textstyle S$ также видит её в прошлом, но всё время в одном направлении (под углом $\textstyle \theta$ ). Разложение гипотенузы $\textstyle t'$ по катетам позволяет связать между собой углы:

$\left\{ \begin{array}{l} t'\sin \theta' = H'\\ t'\cos\theta' = vt' + L' \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\frac{\sin\theta'}{\cos\theta' - v}=\frac{H'}{L'}= \frac{\mathrm{tg}\theta}{\sqrt{1-v^2}},$

где учтено, что для неподвижного относительно звезды наблюдателя $\textstyle \mathrm{tg} \theta = H/L$ , и, в силу лоренцевского сокращения, расстояние по горизонтали до звезды с точки зрения землянина сокращается $\textstyle L'=L\sqrt{1-v^2}$ , а $\textstyle H'=H$ . Учитывая, что $\textstyle 1+\mathrm{tg}^2\theta=1/\cos^2\theta$ , можно записать:

$\cos \theta = \frac{\cos \theta' - v}{1- v\cos\theta'},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \sin \theta = \frac{\sqrt{1-v^2}\cdot \sin \theta'}{1- v\cos\theta'}.$

(2.12)

Рассмотренные в предыдущем разделе искажения формы двигающихся объектов, по сути, также являлись проявлением аберрации.

$\textstyle \bullet$ К аберрации можно также прийти от правила сложения скоростей. В данном случае объектом, двигающимся со скоростью $\textstyle \mathbf{u}$ относительно системы $\textstyle S$ и c $\textstyle \mathbf{u}'$ относительно $\textstyle S'$ , является световой сигнал, распространяющийся от источника к наблюдателям:

Из рисунка следует, что проекции скорости света равны $\textstyle u_x=-\cos \theta$ и $\textstyle u_y=-\sin \theta$ . Аналогично со штрихами для двигающегося наблюдателя $\textstyle S'$ , так как модуль скорости света $\textstyle c=1$ в обоих системах одинаков. Подставляя эти компоненты в закон сложения скоростей, получим:

$\cos \theta' = \frac{\cos \theta + v}{1+ v\cos\theta},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \sin \theta' = \frac{\sqrt{1-v^2}\cdot \sin \theta}{1+ v\cos\theta}.$

(2.13)

Эти формулы являются обратным к найденными выше. Как обычно, обратные преобразования получаются при замене $\textstyle v\mapsto -v$ или прямыми алгебраическими вычислениями.

Разница в углах наблюдения источника для неподвижного и двигающегося наблюдателей может быть выражена через синус разности углов $\textstyle \alpha=\theta-\theta'$ :

$\sin \alpha=\sin\theta\cos\theta'-\cos\theta\sin\theta'=\frac{v+\left(1-\sqrt{1-v^2}\right)\cos\theta}{1+ v\cos\theta}\sin\theta.$

При малых скоростях можно написать приближённое соотношение:

$\sin \alpha \approx v\cdot\sin\theta.$

Так как $\textstyle v\ll 1$ , следовательно угол $\textstyle \alpha$ мал, и в силу $\textstyle \sin \alpha\approx \alpha$ , имеем $\textstyle \alpha\approx v\sin\theta$ . Разность в наблюдениях максимальна, когда угол $\textstyle \theta=\pi/2$ , т.е. источник находится над головой неподвижного наблюдателя. В этом случае, в первом приближении по $\textstyle v$ , отклонение от вертикали для двигающегося наблюдателя составит $\textstyle \alpha\approx v$ .

В обыденной жизни мы наблюдаем эффект аберрации, когда замечаем, что звук быстро летящего самолёта в воздухе отстаёт от его истинного положения (которое, в данном случае, практически совпадает с видимым).

$\textstyle \bullet$ Получим теперь формулу аберрации, справедливую для произвольного направления скорости и положения объекта. Для этого запишем преобразования Лоренца в векторном виде. Пусть система $\textstyle S'$ двигается со скоростью $\textstyle \mathbf{v}$ относительно инерциальной системы $\textstyle S$ :

Хотя рисунок выполнен в двумерии, сейчас мы считаем, что движение происходит в трёхмерном пространстве. На правом рисунке представлено разложение радиус вектора $\textstyle \mathbf{r}$ по двум векторам $\textstyle \mathbf{r}_{\shortparallel}$ и $\textstyle \mathbf{r}_{\perp}$ . Первый из них направлен вдоль скорости $\textstyle \mathbf{v}$ , а второй ей перпендикулярен:

$\mathbf{r} = \mathbf{r}_{\shortparallel}+\mathbf{r}_{\perp},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}_{\shortparallel} = \frac{(\mathbf{r}\mathbf{v})}{v^2}\,\mathbf{v}.$

Длина вектора $\textstyle \mathbf{r}_{\shortparallel}$ определяется проекцией $\textstyle \mathbf{r}$ на единичный вектор вдоль направления скорости $\textstyle \mathbf{v}/v$ . Он же задаёт направление $\textstyle \mathbf{r}_{\shortparallel}$ . Далее, $\textstyle v=\sqrt{\mathbf{v}^2}$ — длина вектора относительной скорости.

Подобное разложение позволяет записать преобразования Лоренца для каждой компоненты:

$\mathbf{r}'_\shortparallel = \gamma\cdot (\mathbf{r}_{\shortparallel}-\mathbf{v } t),\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}'_{\perp}=\mathbf{r}_{\perp},\;\;\;\;\;\;\;t'=\gamma\cdot (t-\mathbf{r}_{\shortparallel}\mathbf{v}),$

где $\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2}$ . Действительно, $\textstyle \mathbf{r}_\shortparallel$ направлен вдоль $\textstyle \mathbf{v}$ и играет роль $\textstyle x$ в обычных преобразованиях Лоренца. Аналогично $\textstyle \mathbf{r}_{\perp}$ перпендикулярен скорости и играет роль $\textstyle y$ . Учитывая, что $\textstyle \mathbf{r}'=\mathbf{r}'_{\shortparallel}+\mathbf{r}'_{\perp}$ , заменяя $\textstyle \mathbf{r}_{\perp}$ на $\textstyle \mathbf{r}-\mathbf{r}_\shortparallel$ , несложно записать преобразования в виде:

$\mathbf{r}' = \mathbf{r} - \gamma\mathbf{v} t + (\gamma-1)\,\frac{(\mathbf{r}\mathbf{v}) \mathbf{v}}{v^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=\gamma\cdot (t-\mathbf{r}\mathbf{v}).$

(2.14)

Их эквивалентная форма может быть представлена при помощи векторного произведения:

$\mathbf{r}' = \gamma\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{v} t) + (\gamma-1)\,\frac{ [\mathbf{v}\times [\mathbf{v}\times\mathbf{r}]]}{v^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=\gamma\cdot (t-\mathbf{r}\mathbf{v}),$

(2.15)

где учтено тождество двойного векторного произведения, справедливое для любых трёх векторов: $\textstyle [\mathbf{a}\times[\mathbf{b}\times\mathbf{c}]]=\mathbf{b}(\mathbf{a}\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\mathbf{b})$ . Обратные преобразования получаются, как обычно, заменой $\textstyle \mathbf{v}\mapsto -\mathbf{v}$ .

$\textstyle \bullet$ При помощи (2.14) можно получить связь скоростей некоторого объекта $\textstyle \mathbf{u'}=d\mathbf{r}'/dt'$ и $\textstyle \mathbf{u}=d\mathbf{r}/dt$ , измеренные наблюдателями в каждой системе отсчёта:

$\mathbf{u}' = \frac{\mathbf{u}-\mathbf{v} + [\mathbf{v}\times [\mathbf{v}\times\mathbf{u}]]\cdot\left(1-\sqrt{1-v^2}\right)/v^2 }{1-\mathbf{u}\mathbf{v}}.$

Из этого соотношения совсем несложно найти выражение для аберрации. Предположим, что единичные векторы $\textstyle \mathbf{n}$ и $\textstyle \mathbf{n}'$ являются направлениями на источник света с точки зрения каждого наблюдателя. Соответственно, световой сигнал распространяется к наблюдателю, т.е. против этих векторов: $\textstyle \mathbf{u}=-\mathbf{n}$ и $\textstyle \mathbf{u}'=-\mathbf{n}'$ , поэтому:

$\mathbf{n}' = \frac{\mathbf{n}+\mathbf{v} + [\mathbf{v}\times [\mathbf{v}\times\mathbf{n}]]\cdot(1-\sqrt{1-v^2})/v^2 }{1+\mathbf{n}\mathbf{v}}.$

(2.16)

Например, когда нас интересует угол $\textstyle \theta$ между направлением на объект и вектором скорости, можно записать $\textstyle \mathbf{n}\mathbf{v}=v\cos\theta$ , и аналогично для штрихованного угла. Умножая правую и левую часть на $\textstyle \mathbf{v}$ , и учитывая, что для любого вектора $\textstyle \mathbf{a}$ справедливо $\textstyle \mathbf{v}\cdot(\mathbf{v}\times \mathbf{a})=(\mathbf{v}\times \mathbf{v})\cdot\mathbf{a}=0$ , несложно получить соотношение для косинусов (2.12).

Косинус угла $\textstyle \cos\alpha$ между направлениями на источник в обоих системах равен:

$\cos\alpha = \mathbf{n}'\mathbf{n} = 1 - \frac{[\mathbf{v}\times \mathbf{n}]^2}{(1+\mathbf{n}\mathbf{v})v^2}\left(1-\sqrt{1-v^2}\right)\approx 1-\frac{[\mathbf{v}\times \mathbf{n}]^2}{2},$

где приближенное равенство записано для малых скоростей, когда можно считать, что $\textstyle \sqrt{1-v^2}\approx 1-v^2/2$ . Если скорость мала, то мал и угол аберрации. Учитывая разложение косинуса $\textstyle \cos\alpha=1-\alpha^2/2+...$ , получаем:

$\alpha \approx |[\mathbf{v}\times \mathbf{n}]|.$

Аберрация отсутствует, если источник находится на прямой движения системы отсчёта, и максимальна, если $\textstyle \mathbf{n}$ и $\textstyle \mathbf{v}$ перпендикулярны. В этом случае угол $\textstyle \alpha=v$ и направлен от вертикали в сторону движения.

Для малых скоростей в формуле для аберрации (2.15) можно отбросить двойное векторное произведение (порядок $\textstyle v^2$ ) и, раскладывая в ряд знаменатель, в линейном по $\textstyle v$ приближении, получить:

$\mathbf{n}' \approx \mathbf{n}+\mathbf{v} - \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{v}) = \mathbf{n} - [\mathbf{n}\times[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]].$

(2.17)

Во втором равенстве снова использована формула двойного векторного произведения. В качестве упражнения имеет смысл проверить, что эта приближённая формула с точностью до первого порядка по $\textstyle v$ приводит к единичной длине штрихованного вектора $\textstyle \mathbf{n}'^2\approx 1$ .

$\textstyle \bullet$ Земля вращается вокруг Солнца по эллипсу. На самом деле эксцентриситет (сплюснутость) земной орбиты не велик. Минимальное и максимальное расстояния от Солнца отличаются друг от друга всего на 3\%, поэтому, для упрощения вычислений будем считать орбиту Земли круговой с радиусом $\textstyle R=1.496\cdot 10^8$ км. Это расстояние также называется одной астрономической единицей (а.е.). Пока забудем об аберрации. Даже в её отсутствие, из-за обращения Земли вокруг Солнца близкие к нам звёзды испытывают видимое перемещение на небесной сфере, т.н. годовой параллакс. В простейшем случае, если звезда находится "над Солнцем", с точки зрения Земли она описывает окружность (левый рисунок):

Парсек — это расстояние, с которого средний радиус орбиты Земли виден под углом равным одной секунде. На рисунке пропорции сильно искажены. На самом деле $\textstyle r_0\gg R$ , и, следовательно, $\textstyle R/r_0=\mathrm{tg}\theta\approx \theta$ . Одна угловая секунда составляет 1/3600 часть градуса, поэтому:

$1\;пк = \frac{360\cdot 3600}{2\pi}\cdot 1\,a.e = 206\,265\;a.e.=3.0857\cdot 10^{13}\,км.$

Слово парсек происходит от объединения слов параллакс и секунда. Расстояние в один парсек свет преодолевает в течении 3.26 года. Расстояние до ближайшей звёздной системы Альфа-Центавра составляет 1.3 пк. Измерение параллаксов при помощи орбитальных телескопов позволяет охватить расстояния до 500 пк.

Для описания параллакса произвольно ориентированной звезды введём единичный вектор $\textstyle \mathbf{n}_0=\mathbf{r}_0/r_0$ в её направлении с точки зрения "наблюдателя на Солнце" и $\textstyle \mathbf{n}=\mathbf{r}/r$ для земного наблюдателя. Для радиус-векторов каждого наблюдателя справедливо соотношение $\textstyle \mathbf{r}=\mathbf{r}_0-\mathbf{R}$ , где $\textstyle \mathbf{R}$ — радиус-вектор, направленный от Солнца к Земле. Считая, что $\textstyle r_0\gg R$ , аналогично эффекту Доплера (стр. \pageref{dopler_dt}), можно записать:

$r =\sqrt{(\mathbf{r}_0-\mathbf{R})^2}\approx \sqrt{\mathbf{r}^2-2\mathbf{r}\mathbf{R}}\approx r_0 - \mathbf{n}_0\mathbf{R} =r_0\cdot (1-\mathbf{n}_0\mathbf{P}),$

где $\textstyle \mathbf{P}=\mathbf{R}/r_0$ — вектор параллакса. Поэтому:

$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}}{r}\approx\frac{\mathbf{r}_0-\mathbf{R}}{r_0(1-\mathbf{n}_0\mathbf{P})}\approx (\mathbf{n}_0-\mathbf{P})(1+\mathbf{n}_0\mathbf{P}) \approx \mathbf{n}_0+\mathbf{n}_0(\mathbf{n}_0\mathbf{P}) -\mathbf{P},$

где знаменатель разложен по малым $\textstyle P$ .

Воспользовавшись тождеством $\textstyle [\mathbf{a}\times[\mathbf{b}\times\mathbf{c}]]=\mathbf{b}(\mathbf{a}\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\mathbf{b})$ , связь единичных векторов в направлении звезды с Солнца $\textstyle \mathbf{n}_0$ и Земли $\textstyle \mathbf{n}$ можно записать при помощи векторного произведения:

$\mathbf{n} \approx \mathbf{n}_0+\mathbf{n}_0(\mathbf{n}_0\mathbf{P})-\mathbf{P} = \mathbf{n}_0 + [\mathbf{n}_0\times [\mathbf{n}_0\times \mathbf{P}]].$

(2.18)

В сферической системе координат с углами $\textstyle (\theta,\phi)$ (см. выше центральный рисунок) на поверхности сферы можно ввести два ортогональных единичных вектора $\textstyle \mathbf{e}_\phi$ , $\textstyle \mathbf{e}_\theta$ , перпендикулярных к $\textstyle \mathbf{n}_0$ :

$\mathbf{n}_0=(s_\theta c_\phi, \;s_\theta s_\phi, \;c_\theta)\;\;\;\;\;\mathbf{e}_\phi = (-s_\phi,\; c_\phi,\; 0),\;\;\;\;\;\mathbf{e}_\theta = (c_\theta c_\phi,\; c_\theta s_\phi,\;-s_\theta),$

где $\textstyle s_\theta=\sin\theta$ , $\textstyle c_\theta=\cos\theta$ , и т.д. Несложно проверить, что $\textstyle \mathbf{e}_\phi \mathbf{e}_\theta=0$ , кроме этого, вектора $\textstyle \mathbf{e}_\phi\sim \partial \mathbf{n}_0/\partial \phi$ , $\textstyle \mathbf{e}_\theta = \partial \mathbf{n}_0/\partial \theta$ направлены в сторону малого изменения угловых координат.

Земля вращается вокруг Солнца по окружности, поэтому компоненты параллакса равны $\textstyle \mathbf{P}=\mathbf{R}/r_0=P\cdot(\cos 2\pi t, \;\sin 2\pi t, \;0)$ , где время $\textstyle t$ измеряется в годах. Проекции вектора $\textstyle \mathbf{n}$ на оси сферической системы координат $\textstyle (\mathbf{e}_\phi, \mathbf{e}_\theta)$ имеют значения:

$\mathbf{n}\mathbf{e}_\phi = -\mathbf{P}\mathbf{e}_\phi=P\sin(\phi-2\pi t),\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{n}\mathbf{e}_\theta = -\mathbf{P}\mathbf{e}_\theta = -P\cos\theta\cos(\phi-2\pi t).$

Таким образом, на поверхности небесной сферы звезда описывает эллипс с полуосями $\textstyle P\cos\theta$ и $\textstyle P$ . При $\textstyle \theta=0$ (звезда над Солнцем) получается окружность с радиусом, равным параллаксу.

До сих пор земная система отсчёта была неподвижна. Подставляя в приближённое соотношение для аберрации (2.16) связь (2.17) и пренебрегая членами порядка $\textstyle P\cdot v$ , можно записать:

$\mathbf{n}' \approx \mathbf{n}_0 + \underbrace{[\mathbf{n}_0\times [\mathbf{n}_0\times \mathbf{P}]]}_{parallax}-\underbrace{[\mathbf{n}_0\times [\mathbf{n}_0\times \mathbf{v}]]}_{aberration}.$

Скорость движения Земли $\textstyle \mathbf{v}$ по круговой орбите перпендикулярна $\textstyle \mathbf{R}$ и составляет 30 км/c или $\textstyle v=10^{-4}$ в долях скорости света. Если радиус-вектор $\textstyle \mathbf{R}=R\cdot(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t, 0)$ , то скорость $\textstyle \mathbf{v}=v\cdot(-\sin 2\pi t, \cos 2\pi t, 0)$ . Стоит проверить, что при этом большая полуось эллипса равна $\textstyle \sqrt{P^2+v^2}$ .

Параллакс даже для ближайшей звёзды равен $\textstyle P=R/r_0\sim 4\cdot 10^{-6}$ , т.е. в 27 раз меньше безразмерной скорости. Поэтому движение звёзд в течении года по эллипсу в результате аберрации — эффект более заметный, чем параллакс. Тем не менее измерение параллакса является наиболее надёжным способом определения расстояния до ближайших звёзд.

Размер и форма объектов <<	Оглавление	>> Звёздное небо

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Аберрация

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты